Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_0^{\pi/2} (1 - \cos 2x) \, dx = ?\)
উত্তর: \(\frac{\pi}{2}\)
সমাধান:
\[
\int_0^{\pi/2} (1 - \cos 2x) \, dx
\]
প্রথমে ইন্টিগ্রেটের ভাঙ্গন:
\[
= \int_0^{\pi/2} 1 \, dx - \int_0^{\pi/2} \cos 2x \, dx
\]
প্রথম অংশ:
\[
\int_0^{\pi/2} 1 \, dx = \left[ x \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}
\]
দ্বিতীয় অংশ:
\[
\int_0^{\pi/2} \cos 2x \, dx
\]
প্রতিস্থাপন করি:
\[
u = 2x \Rightarrow du = 2 dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2}
\]
সীমা পরিবর্তন:
- যখন \(x=0\), তখন \(u=0\)
- যখন \(x=\pi/2\), তখন \(u=\pi\)
অতএব,
\[
\int_0^{\pi/2} \cos 2x \, dx = \int_0^{\pi} \cos u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \cos u \, du
\]
ইন্টিগ্রেট:
\[
= \frac{1}{2} \left[ \sin u \right]_0^{\pi} = \frac{1}{2} (\sin \pi - \sin 0) = \frac{1}{2} (0 - 0) = 0
\]
অতএব,
\[
\int_0^{\pi/2} (1 - \cos 2x) \, dx = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}
\]
উত্তর:
\(\boxed{\frac{\pi}{2}}\)
