inte^xcosx(1+tanx)dx এর মান কত?

প্রশ্ন: \(\int e^x \cos x (1 + \tan x) \, dx\)

উত্তর: \(e^x \sin x + C\)

সমাধান:

1. প্রথমে ইন্টিগ্রালটিকে স্ট্রাকচারালভাবে বিশ্লেষণ করি:
\[ I = \int e^x \cos x (1 + \tan x) \, dx \]
2. এখানে \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), সুতরাং:
\[ I = \int e^x \cos x \left(1 + \frac{\sin x}{\cos x}\right) dx = \int e^x \cos x \left(\frac{\cos x + \sin x}{\cos x}\right) dx \]
3. এটি সরলীকরণ করলে:
\[ I = \int e^x (\cos x + \sin x) dx \]
4. এখন ইন্টিগ্রেশন দুইটি টার্মের জন্য আলাদা করিঃ
\[ I = \int e^x \cos x \, dx + \int e^x \sin x \, dx \] উপরে দুইটি ইন্টিগ্রাল আলাদাভাবে সমাধান করবো।
1. \(\int e^x \cos x \, dx\) সমাধানঃ

ধরি: \(J = \int e^x \cos x \, dx\)

প্রতিপাদ্য: ইন্টিগ্রেশন দ্বারা সমাধান করবো। এর জন্য, আমরা ইন্টিগ্রেটিভ রুল ব্যবহার করি বা অপ্রকাশ্য সমাধান জানি:

\[
J = \text{Re} \left( \int e^x e^{i x} dx \right) = \text{Re} \left( \int e^{x(1 + i)} dx \right)
\]

অথবা সরাসরি সমাধান করিঃ

\[
\text{ধরি:} \quad J = e^x (A \cos x + B \sin x) + C
\]

এবং এর ডিফারেনশিয়েশন অনুযায়ী:

\[
\frac{d}{dx} [e^x (A \cos x + B \sin x)] = e^x (A \cos x + B \sin x) + e^x (-A \sin x + B \cos x)
\]

এটি সমান হবে \( e^x \cos x \) এর জন্য, তাই:

\[
e^x [(A + B) \cos x + (B - A) \sin x] = e^x \cos x
\]

অতএব,

\[
A + B = 1 \quad \text{(কাজে)} \\
B - A = 0 \implies B = A
\]

এই সমীকরণ থেকে,

\[
A + A = 1 \implies 2A = 1 \implies A = \frac{1}{2}
\]
এবং,

\[
B = \frac{1}{2}
\]

অতএব,

\[
J = e^x \left( \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x \right) + C
\]

সুতরাং,

\[
\int e^x \cos x \, dx = \frac{e^x}{2} (\sin x + \cos x) + C
\]

2. বইটি সমাধানঃ \(\int e^x \sin x \, dx\)

ধরি: \(K = \int e^x \sin x \, dx\)

এটি সমাধান করি একই পদ্ধতিতে:

\[
K = e^x (A \sin x + B \cos x) + C
\]

ডিফারেনশিয়েশনের জন্য:

\[
\frac{d}{dx} [e^x (A \sin x + B \cos x)] = e^x (A \sin x + B \cos x) + e^x (A \cos x - B \sin x)
\]
এটি সমান হবে \( e^x \sin x \) এর জন্য, তাই:

\[
e^x [(A + B) \sin x + (B - A) \cos x] = e^x \sin x
\]

অর্থাৎ,

\[
A + B = 1 \quad \text{(কাজে)} \\
B - A = 0 \implies B = A
\]

অতএব,

\[
A + A = 1 \implies 2A = 1 \implies A = \frac{1}{2}
\]
এবং,

\[
B = \frac{1}{2}
\]

অতএব,

\[
K = e^x \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right) + C
\]

3. অতএব, মূল ইন্টিগ্রাল:
\[ I = \int e^x \cos x (1 + \tan x) dx = \int e^x (\cos x + \sin x) dx = J + K \] \[ I = \frac{e^x}{2} (\sin x + \cos x) + \frac{e^x}{2} (\sin x + \cos x) + C \] এখানে, দুইটি যোগফল একসাথে: \[ I = e^x (\sin x + \cos x) + C \] <উপসংহার>: \[ \boxed{ \int e^x \cos x (1 + \tan x) \, dx = e^x (\sin x + \cos x) + C } \]