ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রে a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2c²(a² + b²) হলে cosC এর মান হবে-

দেওয়া শর্ত:

\(a^4 + b^4 + c^4 = 2c^2(a^2 + b^2)\)

আমরা লক্ষ্য করছি, একটি ত্রিভুজ ABC এর পাশে a, b, c যথাক্রমে BC, AC, AB।

প্রথমে, গোল কোণের জন্য, আমাদের জানানো হয় যে, কোণ C এর মান নির্ণয় করতে হবে।

চলুন প্রথমে, সম্পর্কের সুবিধার্থে, ত্রিভুজের পার্শ্বের ওপর নির্ভর করে গুণিতক সম্পর্কগুলোকে ব্যবহার করি।

তাহলে, প্রথমে, উভয় পাশের রৈখিক সূত্রে গুণিত করে, এবং সাধারণত, ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, cosine rule ব্যবহৃত হয়।

কিন্তু, এখানে একটি সমস্যা রয়েছে: আমরা একটি সমীকরণ পাচ্ছি যেখানে ৪র্থ শক্তির পার্শ্বের সমানুপাতিক সম্পর্ক দেখা যাচ্ছে।

আমরা জানি, ত্রিভুজের জন্য, কসমস কোণের জন্য, নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহৃত হয়:

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\)

এখন, সমীকরণটি বিশ্লেষণ করার জন্য, প্রথমে, সমীকরণটি পুনঃলিখি:

\(a^4 + b^4 + c^4 = 2c^2(a^2 + b^2)\)

এখন, এটি বিশ্লেষণ করার জন্য, ধরা যাক, \(a = b\) (সমান পার্শ্বের জন্য), কারণ এটি সাধারণ সমাধানের জন্য সুবিধাজনক।

তাহলে, \(a = b\), তাহলে সমীকরণে স্থানাপন করি:

\(a^4 + a^4 + c^4 = 2c^2 (a^2 + a^2)\)

\(2a^4 + c^4 = 4 c^2 a^2\)

এখন, সমীকরণটি \(c^4\) এর জন্য পুনঃলিখি:

\(c^4 = 4 c^2 a^2 - 2a^4\)

উভয় পক্ষকে \(c^2\) দ্বারা ভাগ করি:

\(\frac{c^4}{c^2} = \frac{4 c^2 a^2 - 2a^4}{c^2}\)

\(c^2 = 4 a^2 - 2a^4 / c^2\) এখানে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, এটি একটি রৈখিক সম্পর্ক নয়, বরং একটি রৈখিক সম্পর্কের সমাধান করতে হবে।

অথচ, মূল সমীকরণে, যদি আমরা \(a = b\) ধরি, তাহলে, কোণের জন্য, আমরা, যদি \(a = b\), তাহলে, ত্রিভুজটির কোণ C এর জন্য, উপযুক্ত সম্পর্ক নির্ণয় করতে পারি।

বিশ্লেষণে, আমরা জানি, যে, \(a = b\), তাহলে, কোণের জন্য, cosine rule অনুযায়ী:

\(c^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos C\)

অর্থাৎ,

\(\cos C = \frac{2a^2 - c^2}{2a^2}\)

এখন, মূল সমীকরণে, \(a^4 + b^4 + c^4 = 2c^2(a^2 + b^2)\), এবং \(a = b\) হলে, এটি হয়:

\(2a^4 + c^4 = 2 c^2 (2a^2)\)

\(2a^4 + c^4 = 4 c^2 a^2\)

এখন, \(c^4\) এর মান থেকে, আমরা পেতে পারি:

\(c^4 = 4 c^2 a^2 - 2a^4\)

এটি, যদি আমরা \(c^2\) এর জন্য সমাধান করি, তাহলে, সমাধান পেতে পারি:

ধরা যাক, \(x = c^2\), তাহলে, সমীকরণটি হবে:

\(x^2 = 4x a^2 - 2a^4\)

এটি একটি কোয়াড্রাটিক সমীকরণ:

\(x^2 - 4a^2 x + 2a^4 = 0\)

সমাধান করতে, আমরা ব্যবহার করব কোয়াড্রাটিক সূত্র:

\(x = \frac{4a^2 \pm \sqrt{(4a^2)^2 - 4 \times 1 \times 2a^4}}{2}\)

গণনা করি:

\(x = \frac{4a^2 \pm \sqrt{16a^4 - 8a^4}}{2}\)

\(x = \frac{4a^2 \pm \sqrt{8a^4}}{2}\)

\(x = \frac{4a^2 \pm 2a^2 \sqrt{2}}{2}\)

\(x = 2a^2 \pm a^2 \sqrt{2}\)

অর্থাৎ, \(c^2 = 2a^2 + a^2 \sqrt{2}\) বা \(c^2 = 2a^2 - a^2 \sqrt{2}\)

সুতরাং, কোণের জন্য, \(\cos C\) এর মান নির্ণয় করি।

\(\cos C = \frac{2a^2 - c^2}{2a^2}\)

প্রথম পরিস্থিতির জন্য, যেখানে \(c^2 = 2a^2 + a^2 \sqrt{2}\), তাহলে:

\(\cos C = \frac{2a^2 - (2a^2 + a^2 \sqrt{2})}{2a^2}\)

\(\cos C = \frac{2a^2 - 2a^2 - a^2 \sqrt{2}}{2a^2}\)

\(\cos C = \frac{- a^2 \sqrt{2}}{2a^2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}\)

অর্থাৎ, \(\cos C = - \frac{\sqrt{2}}{2}\)

দ্বিতীয় পরিস্থিতির জন্য, যেখানে \(c^2 = 2a^2 - a^2 \sqrt{2}\), তাহলে:

\(\cos C = \frac{2a^2 - (2a^2 - a^2 \sqrt{2})}{2a^2}\)

\(\cos C = \frac{2a^2 - 2a^2 + a^2 \sqrt{2}}{2a^2}\)

\(\cos C = \frac{a^2 \sqrt{2}}{2a^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

অর্থাৎ, \(\cos C = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)

এখানে, \(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

অতএব, \(\cos C = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)