1.   cos 2A = cos^2 A - sin^2 A 
2.  cos 2A = 1 - 2sin^2 A  
3.  cos 2A = (1- tan^2 A) / ( 1+ tan^2A) 

নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান:

1. প্রথম সূত্র: \(\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A\)

   এটি কৌসের দ্বিগুণ কোণের প্রাথমিক সূত্র।

   সত্য: এটি একটি মূল সূত্র যা গণিতের মৌলিক সূত্র হিসেবে স্বীকৃত।

2. দ্বিতীয় সূত্র: \(\cos 2A = 1 - 2 \sin^2 A\)

   এটি অন্য একটি ফর্মুলা যা প্রথম সূত্র থেকে প্রমাণিত।

   প্রমাণ:

   \[ \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A \]

   এবং, \(\cos^2 A = 1 - \sin^2 A\), তাই:

   \[ \cos 2A = (1 - \sin^2 A) - \sin^2 A = 1 - 2 \sin^2 A \]

   সুতরাং, এটি সঠিক।

3. তৃতীয় সূত্র: \(\cos 2A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A}\)

   এটি ত্রিগুণমিতির একটি পরিচিত সূত্র, যা \(\tan A\) এর মাধ্যমে কৌসের দ্বিগুণ কোণের প্রকাশ।

   প্রমাণ:

   আমরা জানি,

   \[ \sin A = \frac{\tan A}{\sqrt{1 + \tan^2 A}}, \quad \cos A = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 A}} \]

   তাহলে,

   \[ \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = \left(\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 A}}\right)^2 - \left(\frac{\tan A}{\sqrt{1 + \tan^2 A}}\right)^2 \]

   এটি সরলীকরণ করে পাই:

   \[ \cos 2A = \frac{1}{1 + \tan^2 A} - \frac{\tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} \]

   অর্থাৎ, এই সূত্রটিও সঠিক।

উপসংহার:

উত্তর: i, ii ও iii