r=8cosθ+6 sinθ কনিক দ্বারা x অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য কত একক?

প্রদত্ত কনিকের সমীকরণ:

\( r = 8 \cos{\theta} + 6 \sin{\theta} \)

কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে রূপান্তর করার জন্য, আমরা জানি যে:

\( x = r \cos{\theta} \) এবং \( y = r \sin{\theta} \)

সুতরাং, \( \cos{\theta} = \frac{x}{r} \) এবং \( \sin{\theta} = \frac{y}{r} \)

এখন, প্রদত্ত সমীকরণে \(\cos{\theta}\) এবং \(\sin{\theta}\) এর মান বসিয়ে পাই:

\( r = 8 \cdot \frac{x}{r} + 6 \cdot \frac{y}{r} \)

উভয় দিকে \(r\) দ্বারা গুণ করে পাই:

\( r^2 = 8x + 6y \)

যেহেতু \( r^2 = x^2 + y^2 \), তাই আমরা লিখতে পারি:

\( x^2 + y^2 = 8x + 6y \)

\( x^2 - 8x + y^2 - 6y = 0 \)

এখন, \(x\) এবং \(y\) এর বর্গ পূর্ণ করি:

\( (x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 6y + 9) = 16 + 9 \)

\( (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25 \)

এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যার কেন্দ্র \( (4, 3) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = 5 \)।

বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে ছেদ করে এমন বিন্দু বের করতে, \(y = 0\) বসাতে হবে:

\( (x - 4)^2 + (0 - 3)^2 = 25 \)

\( (x - 4)^2 + 9 = 25 \)

\( (x - 4)^2 = 16 \)

\( x - 4 = \pm 4 \)

সুতরাং, \( x = 4 + 4 = 8 \) অথবা \( x = 4 - 4 = 0 \)

অতএব, বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে \( (0, 0) \) এবং \( (8, 0) \) বিন্দুতে ছেদ করে।

সুতরাং, \(x\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য \( = |8 - 0| = 8 \) একক। 🎉