যদি tanA + secA= x হয় তবে sinA এর মান কত?

প্রথমে, দেয়া হয়েছে: 
\[
\tan A + \sec A = x
\]

আমরা লক্ষ্য করি যে, 
\[
\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \quad \text{এবং} \quad \sec A = \frac{1}{\cos A}
\]

সুতরাং,
\[
\frac{\sin A}{\cos A} + \frac{1}{\cos A} = x
\]

একই নাম্বার দিয়ে ভাগ করলে:
\[
\frac{\sin A + 1}{\cos A} = x
\]

অর্থাৎ,
\[
\sin A + 1 = x \cos A
\]
\[
\Rightarrow \sin A = x \cos A - 1
\]

এখন, \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \) থেকে,
\[
\sin^2 A = 1 - \cos^2 A
\]

এখন, \( \sin A = x \cos A - 1 \) হলে,
\[
\sin^2 A = (x \cos A - 1)^2
\]

সুতরাং,
\[
( x \cos A - 1)^2 = 1 - \cos^2 A
\]

বিস্তার করলে,
\[
x^2 \cos^2 A - 2x \cos A + 1 = 1 - \cos^2 A
\]

দুটি সমীকরণ থেকে,
\[
x^2 \cos^2 A - 2x \cos A + 1 = 1 - \cos^2 A
\]

উভয় পাশে থেকে 1 কেটে দিলে,
\[
x^2 \cos^2 A - 2x \cos A = - \cos^2 A
\]

এখন, সব কিছু এক পাশে নিয়ে আসি:
\[
x^2 \cos^2 A + \cos^2 A - 2x \cos A = 0
\]

অথবা,
\[
\cos^2 A (x^2 + 1) - 2x \cos A = 0
\]

এই সমীকরণকে \( \cos A \) এর ভিত্তিতে লিখি:
\[
\cos A \left[ (x^2 + 1) \cos A - 2x \right] = 0
\]

অর্থাৎ, বা
\[
\cos A = 0
\]
অথবা,
\[
(x^2 + 1) \cos A = 2x
\]

প্রথমটি মানে \( \sin A = \pm 1 \), কিন্তু তখন \( \tan A \) ও \( \sec A \) এর মানে সমস্যা হবে। তাই দ্বিতীয় সমাধান গ্রহণ করি:

\[
\cos A = \frac{2x}{x^2 + 1}
\]

এখন,
\[
\sin A = x \cos A - 1 = x \times \frac{2x}{x^2 + 1} - 1
\]

সুতরাং,
\[
\sin A = \frac{2x^2}{x^2 + 1} - 1
\]

একই রূপে লিখলে,
\[
\sin A = \frac{2x^2 - (x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2 + 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}
\]

অতএব,
উত্তর: \( \boxed{\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}} \)