Explanation: \(\text{Hints: প্রতি অণুর জন্য, } PV = KT \, \text{ এবং } E = \frac{1}{2}mc^2\)
\(\text{Solve: অণু প্রতি গতি শক্তি, } E' = \frac{3}{2}KT\)
\(\text{Ans. (D)}\)
Another Explanation (5):
আদর্শ গ্যাসের অণুর গড় গতিশক্তি \( \frac{3}{2} kT \) হওয়ার কারণ নিচে ব্যাখ্যা করা হলো:
গ্যাসের গতিতত্ত্ব (Kinetic Theory of Gases) অনুসারে, কোনো গ্যাসের অণুগুলো непрерывভাবে এলোমেলোভাবে চলাচল করে। এই গতিতত্ত্বের মূল постулатগুলো হলো:
১. গ্যাস অসংখ্য ক্ষুদ্র কণা (অণু বা পরমাণু) দ্বারা গঠিত। ⚛️
২. এই কণাগুলো সর্বদা গতিশীল এবং এলোমেলোভাবে বিভিন্ন দিকে ভ্রমণ করে। ➡️⬆️⬇️
৩. কণাগুলোর মধ্যে কোনো আকর্ষণ বা বিকর্ষণ বল নেই। 🧲
৪. কণাগুলোর সংঘর্ষ স্থিতিস্থাপক (elastic) অর্থাৎ সংঘর্ষের পূর্বে এবং পরের মোট গতিশক্তি একই থাকে। 💫
৫. গ্যাসের কণাগুলোর গড় গতিশক্তি পরম তাপমাত্রার (absolute temperature) সমানুপাতিক। 🌡️
এখন, একটি আদর্শ গ্যাসের একটি অণুর তিনটি দিকে গতির স্বাধীনতা আছে। এই তিনটি দিক হলো x, y এবং z অক্ষ। 📈📉➡️
গতিশক্তি (Kinetic Energy, KE) = \( \frac{1}{2} mv^2 \)
যেখানে,
m = অণুর ভর ⚖️
v = অণুর বেগ 🚀
ত্রিমাত্রিক স্থানে, অণুর বেগের তিনটি উপাংশ থাকবে: \( v_x \), \( v_y \) এবং \( v_z \)
সুতরাং, \( v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \)
গড় গতিশক্তি, \( \langle KE \rangle = \frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle = \frac{1}{2} m (\langle v_x^2 \rangle + \langle v_y^2 \rangle + \langle v_z^2 \rangle) \)
এখানে, \( \langle v_x^2 \rangle \), \( \langle v_y^2 \rangle \) এবং \( \langle v_z^2 \rangle \) হলো যথাক্রমে x, y ও z অক্ষ বরাবর বেগের বর্গগুলোর গড় মান। যেহেতু গ্যাসের অণুগুলো এলোমেলোভাবে চলাচল করে, তাই প্রতিটি অক্ষ বরাবর গড় গতিশক্তি সমান হবে।
\( \langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle \)
সুতরাং, \( \langle KE \rangle = \frac{1}{2} m (3 \langle v_x^2 \rangle) = \frac{3}{2} m \langle v_x^2 \rangle \)
এখন, গতিতত্ত্বের সমীকরণ থেকে আমরা পাই, \( \frac{1}{2} m \langle v_x^2 \rangle = \frac{1}{2} kT \)
যেখানে,
k = বোল্টজমান ধ্রুবক (Boltzmann constant) \( \approx 1.38 \times 10^{-23} J/K \)
T = পরম তাপমাত্রা (absolute temperature) 🌡️
অতএব, গড় গতিশক্তি \( \langle KE \rangle = \frac{3}{2} kT \) 🤩🎉
সুতরাং, আদর্শ গ্যাসের অণুর গড় গতিশক্তি \( \frac{3}{2} kT \) । ✅
