f(x) = 2x² - x + 3 হলে—

1. (1, 4) বিন্দুতে ফাংশনটির স্পর্শকের ঢাল 3
2. x < 1/4 এর জন্য ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান 
3. x = 1/4 এর জন্য ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান

নিচের কোনটি সঠিক? 

প্রশ্নঃ

ফাংশন \(f(x) = 2x^2 - x + 3\) হলে —

1. বিন্দু \( (1, 4) \) তে ফাংশনের স্পর্শকের ঢাল 3
2. x < 1/4 এর জন্য ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান
3. x = 1/4 \) এর জন্য ফাংশনের সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান

উত্তর: "i ও ii"

সমাধানঃ

প্রথমে, ফাংশনের ডেরিভেটিভ (প্রাবল্য) নির্ণয় করবোঃ

ফাংশন: \(f(x) = 2x^2 - x + 3\)

ডেরিভেটিভ: \(f'(x) = \frac{d}{dx} (2x^2 - x + 3) = 4x - 1\)

i. বিন্দু (1, 4) এ স্পর্শকের ঢাল 3 কি না?

প্রথমে, বিন্দু (1, 4) এ ফাংশনের মান যাচাই করি:

\(f(1) = 2(1)^2 - 1 + 3 = 2 - 1 + 3 = 4\)

অর্থাৎ, বিন্দুটি সত্যিই ফাংশনের পয়েন্ট (1, 4)।

স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় করবো \(f'(x)\)-এর মান দিয়ে:

\(f'(1) = 4(1) - 1 = 4 - 1 = 3\)

অর্থাৎ, বিন্দু (1, 4) এ স্পর্শকের ঢাল 3। এটি সত্য।

ii. x < 1/4 এর জন্য ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান কি না?

অবস্থান অনুযায়ী, ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ণয় করি:

\(f'(x) = 4x - 1\)

যখন \(x < 1/4\), তখন:

\(4x - 1 < 4 \times \frac{1}{4} - 1 = 1 - 1 = 0\)

অর্থাৎ, \(f'(x) < 0\) যখন \(x < 1/4\)। তাই, এই ক্ষেত্রে, ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান।

iii. \(x = 1/4\) এ ফাংশনের সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান কি?

সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয়ের জন্য, ডেরিভেটিভের শূন্যবিন্দু নির্ণয় করি:

\(f'(x) = 0 \Rightarrow 4x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4}\)

এখানে, ডেরিভেটিভের চিহ্ন পরিবর্তন পর্যবেক্ষণ করি:

• যখন \(x < 1/4\), \(f'(x) < 0\) অর্থাৎ ক্রমহ্রাসমান।
• যখন \(x > 1/4\), \(f'(x) > 0\) অর্থাৎ ক্রমবর্ধমান।

অতএব, \(x = 1/4\) এ ফাংশনটির একটি মিনিমাম মান বিদ্যমান, কারণ ডেরিভেটিভ ঊর্ধ্বমুখী থেকে নিম্নমুখী পরিবর্তিত হচ্ছে না।

অর্থাৎ, এখানে সর্বোচ্চ মানের অবস্থা নেই।

উপসংহারঃ

প্রথম ও দ্বিতীয় বিবৃতি সঠিক। তৃতীয় বিবৃতি ভুল কারণ এখানে মিনিমাম মান বিদ্যমান, সর্বোচ্চ মান নয়।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো: i ও ii.