y = 2x² + 8x^-2 - 9 বক্ররেখার স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি, যখন x = 2?

প্রশ্ন: \(y = 2x^2 + 8x^{-2} - 9\) বক্ররেখার স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করো যখন \(x = 2\)?

সমাধান:

1. \(x = 2\) বিন্দুতে \(y\) এর মান নির্ণয়:

\(y = 2(2)^2 + 8(2)^{-2} - 9\)

\(y = 2(4) + 8(\frac{1}{4}) - 9\)

\(y = 8 + 2 - 9 = 1\)

সুতরাং, বিন্দুটি হলো \( (2, 1) \).

2. \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয়:

\(y = 2x^2 + 8x^{-2} - 9\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^2 + 8x^{-2} - 9)\)

\(\frac{dy}{dx} = 4x - 16x^{-3}\) 🧐

3. \(x = 2\) বিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় (স্পর্শকের ঢাল):

\(\frac{dy}{dx}\Big|_{x=2} = 4(2) - 16(2)^{-3}\)

\(\frac{dy}{dx}\Big|_{x=2} = 8 - 16(\frac{1}{8})\)

\(\frac{dy}{dx}\Big|_{x=2} = 8 - 2 = 6\)

সুতরাং, স্পর্শকের ঢাল \(m = 6\) 🤩।

4. স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়:

স্পর্শকের সমীকরণ \(y - y_1 = m(x - x_1)\) এই আকারে হবে। এখানে, \( (x_1, y_1) = (2, 1) \) এবং \(m = 6\)।

\(y - 1 = 6(x - 2)\)

\(y - 1 = 6x - 12\)

\(y = 6x - 12 + 1\)

\(y = 6x - 11\)

অতএব, নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ \(y = 6x - 11\) 🎉।

সুতরাং, উত্তর: \(y = 6x - 11\) ✅