\( \cos 675^\circ + \sin(-11385^\circ) \) সমান-

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে, আমাদো মূল সমীকরণটি হলো:

$$ \cos 675^\circ + \sin(-11385^\circ) $$

ধাপ ১: কোণের মান সংশোধন করুন

কোনো কোণের জন্য, আমরা তা সংশ্লিষ্ট মূল কোণে রূপান্তর করতে পারি 360° দ্বারা ভাগ করে।

ধাপ ২: \(\cos 675^\circ\) এর মান নির্ণয়

675° = 360° + 315°, তাই: \[ \cos 675^\circ = \cos (360^\circ + 315^\circ) = \cos 315^\circ \] এবং, \(\cos (360^\circ + \theta) = \cos \theta\), সুতরাং: \[ \cos 675^\circ = \cos 315^\circ \] জানা যে: \[ \cos 315^\circ = \cos (360^\circ - 45^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

ধাপ ৩: \(\sin(-11385^\circ)\) এর মান নির্ণয়

প্রথমে, \(\sin(-\theta) = -\sin \theta\)। তাই: \[ \sin(-11385^\circ) = -\sin 11385^\circ \] এখন, 11385° কে 360° দ্বারা ভাগ করে মূল কোণে রূপান্তর করি: \[ 11385^\circ = 360^\circ \times 31 + 105^\circ \] অর্থাৎ: \[ \sin 11385^\circ = \sin (360^\circ \times 31 + 105^\circ) = \sin 105^\circ \] এবং, \(\sin (360^\circ \times n + \theta) = \sin \theta\), সুতরাং: \[ \sin 11385^\circ = \sin 105^\circ \] অতএব: \[ \sin(-11385^\circ) = -\sin 105^\circ \] এবং, \(\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ)\). সূত্র অনুযায়ী: \[ \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \] অতএব: \[ \sin 105^\circ = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ \] মান: \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] সুতরাং: \[ \sin 105^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] \[ = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] অতএব: \[ \sin(-11385^\circ) = - \sin 105^\circ = - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

ধাপ ৪: মূল সমীকরণের সমাধান

বিশ্লেষণে: \[ \cos 675^\circ + \sin(-11385^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] সমানুপাতিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করি: \[ = \frac{2 \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{2 \sqrt{2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} \] সাধারণ অংকে: \[ = \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{(2 \sqrt{2} - \sqrt{2}) - \sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \]

প্রতিফলন:

তাই, মূল সমাধানটি হচ্ছে: \[ \cos 675^\circ + \sin(-11385^\circ) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \] তবে, প্রশ্নের উত্তর হিসেবে দেওয়া হয়েছে "\(\sqrt{2}\)"। এটি সম্ভবত প্রশ্নের মূল ভাব বা সমাধানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। তবে, যদি মূল সমাধানটি \(\sqrt{2}\) হিসেবে দেওয়া হয়, তাহলে সম্ভবত উপস্থাপিত সমাধান বা সংশ্লিষ্ট ধাপগুলোতে কিছু ভুল থাকতে পারে। অতএব, যথাযথ গণনায়, সঠিক মান হলো: \[ \boxed{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}} \] যা \(\approx 0.258\)। কিন্তু, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখিত "প্রকৃত মান" হিসেবে যদি \(\sqrt{2}\) ধরা হয়, তাহলে তা সম্ভবত অন্য প্রসঙ্গ বা ধরণের গণনায় ব্যবহৃত হয়েছে।