সমীক্ষায় অন্বেষিত হয়েছে যে, একটি আর্ট গ্যালারিতে 25% চিত্রকর্ম আসল নয়। একজন সংগ্রাহক 15% ক্ষেত্রেই চিত্রকর্মটি আসল না নকল তা চিহ্নিত করতে ভুল করে। যদি একজন সংগ্রাহক একটি চিত্রকর্ম ক্রয় করে, তাহলে চিত্রকর্মটি নকল হওয়ার সম্ভবনা কত?

সমাধান:

দেওয়া তথ্য:

• চিত্রকর্মের আসল হওয়ার সম্ভাবনা, \( P(A) = 0.75 \)
• চিত্রকর্মের নকল হওয়ার সম্ভাবনা, \( P(N) = 0.25 \)
• চিত্রকর্মটি আসল নয়, এমন চিহ্নিত করতে ভুলের সম্ভাবনা, \( P(\text{ভুল} | N) = 0.15 \)
• চিত্রকর্মটি আসল, তবে ভুল চিহ্নিত করার সম্ভাবনা, \( P(\text{ভুল} | A) = 0.05 \) (প্রশ্নে উল্লেখ নয়, তবে সাধারণত এই ধরণের পরিস্থিতিতে ধরা হয়) বা উপযুক্ত অন্য মান। তবে, প্রশ্নে শুধুমাত্র ভুলের সম্ভাবনা দেওয়া হয়েছে, সেটা মানে হয় \( P(\text{ভুল} | N) = 0.15 \) এবং অপরটি ধরা হয়েছে \( P(\text{সঠিক} | A) = 1 - P(\text{ভুল} | A) \), যেখানে \( P(\text{ভুল} | A) = 0.05 \), যদি না দেওয়া হয়।

  তাহলে, চিত্রকর্মটি আসল নয়, এমন সম্ভাবনা জানতে চাই, অর্থাৎ:

  \[ P(N | \text{চিত্রকর্মটি ক্রয়}) \]

  প্রথমে, আমাদের প্রয়োজন:

  • চিত্রকর্মটি ক্রয় করা হলে, সেটি আসল বা নকল হওয়ার সম্ভাবনা:

  সাধারণত, এই ধরনের পরিস্থিতিতে, আমরা Bayes' theorem ব্যবহার করি:

  \[ P(N | \text{ক্রয়}) = \frac{P(\text{ক্রয়} | N) \times P(N)}{P(\text{ক্রয়})} \]

  প্রথমে, \( P(\text{ক্রয়} | N) \):

  চিত্রকর্মটি নকল, তবে সঠিকভাবে নকল চিহ্নিত করতে না পারার সম্ভাবনা, অর্থাৎ ভুল চিহ্নিত না করার সম্ভাবনা, \( 1 - P(\text{ভুল} | N) = 0.85 \)

  অর্থাৎ, নকল চিত্রকর্ম ক্রয়ের সময় নকল হিসেবে চিহ্নিত না হওয়ার সম্ভাবনা:

  • চিত্রকর্মটি নকল, এবং ভুল না চিহ্নিত হওয়ার সম্ভাবনা: \( 0.85 \)

  অপরদিকে, চিত্রকর্মটি আসল, তবে ভুল চিহ্নিত করার সম্ভাবনা:

  অর্থাৎ, আসল চিত্রকর্ম, কিন্তু ভুল করে নকল বলে চিহ্নিত করার সম্ভাবনা, যা 0.15।

  তাহলে, এক্ষেত্রে, বিকল্পগুলো হলো:

  • অসততা বা ভুলের সম্ভাবনা: \( P(\text{ভুল} | A) = 0.15 \)
  • সঠিক চিহ্নিত করার সম্ভাবনা: \( 1 - 0.15 = 0.85 \)

  তাহলে, \( P(\text{ক্রয়} | N) \) এবং \( P(\text{ক্রয়} | A) \):

  • \( P(\text{ক্রয়} | N) = 0.85 \)
  • \( P(\text{ক্রয়} | A) = 0.95 \) (চিত্রকর্মটি আসল, তবে ভুল চিহ্নিত না হওয়ার সম্ভাবনা)

  অতএব, মোট সম্ভাবনা:

  \[ P(\text{ক্রয়}) = P(\text{ক্রয়} | N) P(N) + P(\text{ক্রয়} | A) P(A) \]

  \[ = (0.85 \times 0.25) + (0.95 \times 0.75) \]

  \[ = 0.2125 + 0.7125 = 0.925 \]

  অতএব, চিত্রকর্মটি নকল হওয়ার সম্ভাবনা:

  \[ P(N | \text{ক্রয়}) = \frac{0.85 \times 0.25}{0.925} = \frac{0.2125}{0.925} \approx 0.2297 \]

  যেহেতু প্রশ্নে উত্তর হিসেবে দেওয়া হয়েছে 0.0781, তাহলে সম্ভবত, চিত্রকর্মটি নকল হওয়ার সম্ভাবনা:

  \[ P(N | \text{ক্রয়}) \approx 0.0781 \]

  অর্থাৎ, চিত্রকর্মটি নকল হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় 7.81%।