x² + y² - 4x - 6y = 7 বৃত্তের X-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য কত?

প্রথমে সমীকরণটি দেওয়া হয়েছে:

\[ x^{2} + y^{2} - 4x - 6y = 7 \]

আমরা এটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণে রূপান্তর করব। এর জন্য, আমরা বর্গ সম্পূর্ণ করব।

ধাপ ১: x এর জন্য:

\[ x^{2} - 4x \]

[x^{2} - 4x + 4] - 4
= (x - 2)^{2} - 4

ধাপ ২: y এর জন্য:

\[ y^{2} - 6y \]

[y^{2} - 6y + 9] - 9
= (y - 3)^{2} - 9

ধাপ ৩: সমীকরণে বসানো:

(x - 2)^{2} - 4 + (y - 3)^{2} - 9 = 7

ধাপ ৪: সাজানো:

(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 7 + 4 + 9 = 20

অতএব, এটি একটি কেন্দ্র \((2, 3)\) এবং ব্যাসার্ধ \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) এর বৃত্ত।

প্রশ্নের অংশ:

আমরা জানি, X-অক্ষে বৃত্তের খণ্ডের দৈর্ঘ্য হল সেই অংশের দৈর্ঘ্য যেখানে y=0।

ধাপ ৫: y=0 বসান:

(x - 2)^{2} + (0 - 3)^{2} = 20
\end{pre>
(x - 2)^{2} + 9 = 20
\end{pre>
(x - 2)^{2} = 20 - 9 = 11
\end{pre>

ধাপ ৬: x-মান নির্ণয়:
x - 2 = ±\sqrt{11}
\end{pre>
x = 2 ± \sqrt{11}


অর্থাৎ, বৃত্তের খণ্ডের দুই প্রান্তের x-মান যথাক্রমে:
\[ x_{1} = 2 + \sqrt{11} \]
\[ x_{2} = 2 - \sqrt{11} \]

ধাপ ৭: খণ্ডের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
দৈর্ঘ্য = |x_{1} - x_{2}| = |(2 + \sqrt{11}) - (2 - \sqrt{11})| = |\sqrt{11} + \sqrt{11}| = 2\sqrt{11}


অতএব, X-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য হল: 2√11.