x-3y-2=0 রেখার উপর অবস্থিত P বিন্দুটি (2, 3) এবং (6,-5) বিন্দু দুইটি হতে সমদূরবর্তী হলে,P বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( x - 3y - 2 = 0 \) রেখার উপর অবস্থিত বিন্দু \( P(x, y) \) এবং বিন্দু \( A(2, 3) \) এবং \( B(6, -5) \) থেকে সমদূরবর্তী হলে, \( P \) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
সমাধান:
প্রথমে, \( P(x, y) \) রেখার উপর অবস্থান করে, অর্থাৎ:
\[
x - 3y - 2 = 0
\]
এবং \( P \) থেকে \( A \) এবং \( B \) পর্যন্ত দূরত্ব সমান:
\[
PA = PB
\]
দূরত্বের সূত্রানুযায়ী,
\[
PA = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2}
\]
\[
PB = \sqrt{(x - 6)^2 + (y + 5)^2}
\]
সমান হলে,
\[
\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} = \sqrt{(x - 6)^2 + (y + 5)^2}
\]
দুটি পক্ষের বর্গ করলে,
\[
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 6)^2 + (y + 5)^2
\]
এখন, সমীকরণটি সমাধান করি:
\[
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = (x^2 - 12x + 36) + (y^2 + 10y + 25)
\]
দুটি পাশের সমান অংশগুলো বিয়োগ করি:
\[
x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 - x^2 + 12x - 36 - y^2 - 10y - 25 = 0
\]
সরলীকরণ করি:
\[
(-4x + 12x) + (-6y - 10y) + (4 + 9 - 36 - 25) = 0
\]
\[
8x - 16y + (13 - 61) = 0
\]
\[
8x - 16y - 48 = 0
\]
এই সমীকরণকে সরল করলে:
\[
x - 2y - 6 = 0
\]
এখন, \( P(x, y) \) রেখার উপর, অর্থাৎ,
\[
x - 3y - 2 = 0
\]
এবং এই সমীকরণটি \( x - 2y - 6 = 0 \) এর সাথে সমাধান করি:
দুটি সমীকরণ:
\[
(1) \quad x - 3y = 2
\]
\[
(2) \quad x - 2y = 6
\]
উপরের সমীকরণ থেকে, \( x \) এর মান:
\[
x = 3y + 2
\]
এখন, এটিকে দ্বিতীয় সমীকরণে বসাই:
\[
(3y + 2) - 2y = 6
\]
\[
3y + 2 - 2y = 6
\]
\[
y + 2 = 6
\]
\[
y = 4
\]
এখন, \( y = 4 \) হলে, \( x \) এর মান:
\[
x = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14
\]
অতএব, পয়েন্ট \( P \) এর স্থানাঙ্ক হয়:
\[
\boxed{(14, 4)}
\]
উত্তর: \(\boxed{(14, 4)}\)
