Explanation: 
Another Explanation (5):
reflection বা প্রতিবিম্ব নির্ণয়:
প্রথমে, \(2y = x + 1\) সরলরেখাটিকে \(x - 2y + 1 = 0\) আকারে লিখি।
\( (3, -3) \) বিন্দু থেকে \( x - 2y + 1 = 0 \) সরলরেখার লম্বদূরত্ব \( d \) হল:
\( d = \frac{|3 - 2(-3) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|3 + 6 + 1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \)
ধরি, \( (3, -3) \) বিন্দুর প্রতিবিম্ব \( (x_1, y_1) \)। তাহলে, \( (3, -3) \) ও \( (x_1, y_1) \) এর সংযোগকারী সরলরেখা \( x - 2y + 1 = 0 \) এর উপর লম্ব হবে এবং এই সরলরেখাটির মধ্যবিন্দু \( x - 2y + 1 = 0 \) এর উপর অবস্থিত হবে।
মধ্যবিন্দু: \( (\frac{x_1 + 3}{2}, \frac{y_1 - 3}{2}) \)
এই মধ্যবিন্দু \( x - 2y + 1 = 0 \) সরলরেখার উপর অবস্থিত। সুতরাং,
\( \frac{x_1 + 3}{2} - 2(\frac{y_1 - 3}{2}) + 1 = 0 \)
\( x_1 + 3 - 2y_1 + 6 + 2 = 0 \)
\( x_1 - 2y_1 + 11 = 0 \) .....(1)
\( (3, -3) \) ও \( (x_1, y_1) \) এর সংযোগকারী সরলরেখার ঢাল \( m_1 = \frac{y_1 + 3}{x_1 - 3} \) এবং \( x - 2y + 1 = 0 \) সরলরেখার ঢাল \( m_2 = \frac{1}{2} \)
যেহেতু রেখা দুটি লম্ব, \( m_1 \cdot m_2 = -1 \)
\( \frac{y_1 + 3}{x_1 - 3} \cdot \frac{1}{2} = -1 \)
\( y_1 + 3 = -2x_1 + 6 \)
\( 2x_1 + y_1 - 3 = 0 \) .....(2)
এখন (1) ও (2) নং সমীকরণ সমাধান করি:
\( x_1 - 2y_1 + 11 = 0 \)
\( 2x_1 + y_1 - 3 = 0 \)
(2) নং সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করে (1) নং সমীকরণ থেকে বিয়োগ করি:
\( (x_1 - 2y_1 + 11) - 2(2x_1 + y_1 - 3) = 0 \)
\( x_1 - 2y_1 + 11 - 4x_1 - 2y_1 + 6 = 0 \)
\( -3x_1 - 4y_1 + 17 = 0 \)
\( 3x_1 + 4y_1 - 17 = 0 \) .....(3)
(2) নং থেকে পাই, \( y_1 = 3 - 2x_1 \)
\( 3x_1 + 4(3 - 2x_1) - 17 = 0 \)
\( 3x_1 + 12 - 8x_1 - 17 = 0 \)
\( -5x_1 - 5 = 0 \)
\( x_1 = -1 \)
\( y_1 = 3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5 \)
সুতরাং, প্রতিবিম্ব বিন্দুটি হল \( (-1, 5) \) 🥳
