y=x রেখার সাপেক্ষে(-2,4) বিন্দুর প্রতিবিম্ব কোনটি?

সমাধান:

প্রথমে, আমাদের জানাতে হবে যে রেখার সমীকরণ \( y = x \)।

প্রতিবিম্বের জন্য, আমরা জানি যে বিন্দুর প্রতিবিম্ব মূল বিন্দুর উপর রেখার উপর অবস্থিত নয়, বরং রেখার সমান্তরালে এবং রেখার সাথে সমান দূরত্বে অবস্থিত।

দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের সূত্র:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

প্রতিবিম্বের জন্য, বিন্দু \((-2, 4)\) এর জন্য, আমাদের মনে রাখতে হবে যে, এই বিন্দু রেখার উপর থেকে প্রত্যাবর্তন করতে হবে।

রেখার উপর থেকে বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করি:

\[ d = \frac{|y - x|}{\sqrt{2}} \]

প্রতিবিম্বের জন্য, যদি \(\, (x', y')\) হয়, তবে:

\[ \text{দূরত্ব} = \frac{|y' - x'|}{\sqrt{2}} \]

এবং, বিন্দু \((-2, 4)\) এর জন্য, প্রতিবিম্বের বিন্দু \((x', y')\) এর জন্য, সমাধান করি।

যদি \((-2, 4)\) বিন্দুর প্রতিবিম্ব \((x', y')\) হয়, তবে রেখার উপর থেকে এই বিন্দুর দূরত্ব সমান এবং রেখার সাথে বিপরীত দিক থেকে আসবে।

রেখার সমীকরণ: \( y = x \)

দুটি বিন্দুর জন্য, দূরত্ব সমীকরণ:

\[ \frac{|4 - (-2)|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \]

অতএব, প্রতিবিম্বের বিন্দু \((x', y')\) এর জন্য, দূরত্বের সূত্র অনুযায়ী, তার থেকে রেখার দূরত্বও হবে \(3\sqrt{2}\)।

রেখার উপর থেকে দূরত্বের সূত্রে, বিন্দু \((x', y')\) এর জন্য:

\[ \frac{|y' - x'|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \]

অর্থাৎ:

\[ |y' - x'| = 6 \]

যেহেতু প্রতিবিম্বের বিন্দু রেখার উপর থেকে সমান দূরত্বে, এবং রেখার উপরে না, তাই আমাদের মনে রাখতে হবে যে, রেখার থেকে বিন্দুর দূরত্বের দিক পরিবর্তন হবে।

প্রতিবিম্বের বিন্দু \((x', y')\) এর জন্য, বিন্দুর সাথে রেখার দূরত্বের সূত্রে, যদি \((-2, 4)\) থেকে রেখার দূরত্ব \(d\), তবে, প্রতিবিম্বের বিন্দু থেকে রেখার দূরত্বও হবে \(d\), এবং উভয় বিন্দু রেখার থেকে বিপরীত দিকের হবে।

অতএব, আমরা জানি যে, প্রতিবিম্বের বিন্দু \((x', y')\) এর জন্য, এর জন্য একটি সূত্র আছে:

\[ x' + 2 = y' - 4 \]

অথবা, রেখার সমীকরণের সমাধান করতে, আমরা জানি যে, প্রতিবিম্বের বিন্দু \((x', y')\) এর জন্য, রেখার সমীকরণে সমাধান করতে হবে।

প্রতিবিম্বের বিন্দু \((x', y')\) এর জন্য, রেখার উপর থেকে দূরত্বের সমীকরণ থেকে আমরা পাই:

\[ y' = x' \pm 6 \]

এবং, রেখার উপর থেকে দূরত্বের দিক অনুযায়ী, আমরা বিন্দুর প্রতিবিম্ব \((x', y')\) পেতে পারি।

অবশেষে, হিসাব অনুযায়ী, বিন্দু \((-2, 4)\) এর প্রতিবিম্ব \((4, -2)\) হয়।

উত্তর: \(\boxed{(4, -2)}\)