a এর মান কত হলে \( \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{3}\hat{j} + a\hat{k} \) ভেক্টরটি একটি একক ভেক্টর হবে ?

একটি ভেক্টর যদি একক ভেক্টর হয়, তাহলে তার দৈর্ঘ্য বা মান ১ হওয়া প্রয়োজন। ধরা যাক, ভেক্টরটি হলো:

$\backslash vec\{A\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash hat\{i\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash hat\{j\}\; +\; a\; \backslash hat\{k\}$

এবং এর মান বা দৈর্ঘ্য হবে:

$|\backslash vec\{A\}|\; =\; \backslash sqrt\{\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)^2\; +\; a^2\}$

যেহেতু এটি একটি একক ভেক্টর, তাই:

$|\backslash vec\{A\}|\; =\; 1$

অর্থাৎ:

$\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{4\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{9\}\; +\; a^2\}\; =\; 1$

দুটি পাশের বর্গ করি:

$\backslash frac\{1\}\{4\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{9\}\; +\; a^2\; =\; 1$

প্রথমে, যোগফল নির্ণয় করি:

$\backslash frac\{1\}\{4\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{9\}\; =\; \backslash frac\{9\}\{36\}\; +\; \backslash frac\{4\}\{36\}\; =\; \backslash frac\{13\}\{36\}$

অতএব, সমীকরণ হয়:

$\backslash frac\{13\}\{36\}\; +\; a^2\; =\; 1$

এখানে থেকে, a এর মান নির্ণয় করি:

$a^2\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{13\}\{36\}\; =\; \backslash frac\{36\}\{36\}\; -\; \backslash frac\{13\}\{36\}\; =\; \backslash frac\{23\}\{36\}$

অতএব, a এর মান হবে:

$a\; =\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{23\}\{36\}\}\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{23\}\}\{6\}$