vecA=2hati+hatj+hatk,vecB=hati-hatj+2hatk হলে vecA এর উপর vecB এর লম্ব অভিক্ষেপ কত?
Another Explanation (5): প্রথমে, আমাদের দেওয়া vectors গুলো হলো:
\( \vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{B} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \)
লম্ব অভিক্ষেপ (perpendicular projection) নির্ণয় করতে, প্রথমে আমরা \(\vec{B}\) এর \(\vec{A}\) এর উপর লম্ব অভিক্ষেপের জন্য প্রজেকশন ভেক্টর নির্ণয় করব।
### ধাপ 1: প্রজেকশন ভেক্টর \( \text{proj}_{\vec{A}} \vec{B} \)
\[
\text{proj}_{\vec{A}} \vec{B} = \left( \frac{\vec{B} \cdot \vec{A}}{\|\vec{A}\|^2} \right) \vec{A}
\]
### ধাপ 2: \(\vec{A}\) এর ডট প্রোডাক্ট
\[
\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (1)(-1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3
\]
### ধাপ 3: \(\|\vec{A}\|^2\)
\[
\|\vec{A}\|^2 = (2)^2 + (1)^2 + (1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6
\]
### ধাপ 4: প্রজেকশন ভেক্টর
\[
\text{proj}_{\vec{A}} \vec{B} = \left( \frac{3}{6} \right) \vec{A} = \frac{1}{2} (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}
\]
### ধাপ 5: লম্ব অভিক্ষেপ ভেক্টর
\[
\vec{B}_{\perp} = \vec{B} - \text{proj}_{\vec{A}} \vec{B}
\]
\[
\vec{B}_{\perp} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) - \left( \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k} \right)
\]
\[
\vec{B}_{\perp} = (1 - 1) \hat{i} + \left( -1 - \frac{1}{2} \right) \hat{j} + \left( 2 - \frac{1}{2} \right) \hat{k}
\]
\[
\vec{B}_{\perp} = 0 \hat{i} - \frac{3}{2} \hat{j} + \frac{3}{2} \hat{k}
\]
### ধাপ 6: লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য
\[
\|\vec{B}_{\perp}\| = \sqrt{\left(0\right)^2 + \left(- \frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2}
\]
\[
= \sqrt{0 + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \sqrt{\frac{9 \times 2}{4}} = \sqrt{\frac{9}{2}}
\]
\[
= \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}
\]
### সমাপ্তি:
প্রশ্নের উত্তর অনুযায়ী,
\[
\boxed{\sqrt{\frac{3}{2}}}
\]
অতএব, **\(\vec{A}\) এর উপর \(\vec{B}\) এর লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য হলো \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)**।
