Another Explanation (5): প্রশ্নের সমাধান
প্রশ্ন: \( x^2 = 4(1 - y) \) পরাবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ কোনটি?
প্রথম ধাপ: পরাবৃত্তটির কেন্দ্র ও অর্ধবৃত্তের রূপ নির্ণয়
প্রদত্ত সমীকরণ:
\[
x^2 = 4(1 - y)
\]
এটি একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ। এটি স্ট্যান্ডার্ড রূপে লিখলে:
\[
x^2 = 4(1 - y) \Rightarrow x^2 = 4 - 4y
\]
অথবা,
\[
x^2 + 4y = 4
\]
এটি একটি পরাবৃত্তের সাধারণ রূপ।
দ্বিতীয় ধাপ: পরাবৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয়
উপরের সমীকরণকে পুনর্বিন্যাস করি:
\[
x^2 = -4y + 4
\]
এখানে, \( y \)-এর সাথে \( x^2 \) সম্পর্কের কারণে, এটি একটি উল্লম্ব পরাবৃত্ত (vertical parabola বা অন্য কিছু নয়) নয়, বরং একটি পরাবৃত্ত।
অন্যভাবে, সমীকরণটিকে এই রূপে লিখতে পারি:
\[
x^2 = -4(y - 1)
\]
এখানে, এটি একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ যার:
\[
x^2 = 4p(y - k)
\]
রূপে, যেখানে কেন্দ্র \((h, k)\), এবং এই ক্ষেত্রে:
\[
x^2 = 4p(y - 1)
\]
সুতরাং, কেন্দ্র \((0, 1)\), এবং এই রূপে:
\[
x^2 = 4p(y - 1)
\]
এখানে, \(4p = -4 \Rightarrow p = -1\)
এখন, এই পরাবৃত্তের কেন্দ্র \((0,1)\) এবং এর নির্দেশিকা (directrix) হবে:
\[
\text{Directrix: } y = k - p = 1 - (-1) = 2
\]
এবং পরাবৃত্তের মুখ (focus):
\[
\text{Focus: } (0, 1 + p) = (0, 1 -1) = (0, 0)
\]
তৃতীয় ধাপ: নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয়
নিয়ামক রেখা (director line) সেই রেখা যা পরাবৃত্তের কেন্দ্র থেকে সরাসরি যায়। সাধারণত, নিয়ামক রেখার সমীকরণ হলো:
\[
y = \text{constant}
\]
এবং এই ক্ষেত্রে, কেন্দ্রে সরাসরি রেখার সমীকরণ হলো:
\[
\text{Directrix: } y = 2
\]
অতএব, নিয়ামক রেখার সমীকরণ হলো:
\[
\boxed{y=2}
\]
উত্তর:
নিয়ামক রেখার সমীকরণ হলো y = 2.
