কটি ইলেকট্রিক বোর্ডে 5টি সুইচ আছে। কত উপায়ে সুইচগুলোকে up এবং down করা যাবে যেখানে 3টি সুইচ up এবং 2টি সুইচ down থাকবে।

সমাধান:

প্রশ্নে বলা হয়েছে, 5টি সুইচের মধ্যে 3টি সুইচ "up" এবং 2টি সুইচ "down" হতে হবে।

এখন, আমাদের মূল কাজ হল, কিভাবে এই সুইচগুলোর পজিশন নির্ধারিত হবে তার সংখ্যা নির্ণয় করা।

প্রতিটি সুইচের জন্য দুটি অপশন আছে: up অথবা down।

তবে, সমস্যা অনুযায়ী, সুইচের পজিশনের নির্দিষ্ট সংখ্যা নির্ধারিত: 3টি up এবং 2টি down.

সমাধান:

1. সুইচের পজিশন নির্ধারণের জন্য, 5টি সুইচের মধ্যে 3টি সুইচ "up" হবে।
2. অন্য 2টি সুইচ "down" হবে।

এটি একটি কম্বিনেটোরিয়াল সমস্যা, যেখানে আমরা নির্দিষ্ট সংখ্যক সুইচ নির্বাচন করব।

সুতরাং, এই নির্বাচন করার উপায়ের সংখ্যা হবে:

\[ \binom{5}{3} \]

ক্যালকুলেশন:

\[
\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \times (5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10
\]

অতএব, মোট উপায়ের সংখ্যা = 10।

তবে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখিত উত্তর "48" রয়েছে।
এটি সম্ভবত ভুল বা অন্য ধরণের গণনাকে বোঝায়। কিন্তু, উপরের গণনাটি মান্য।

উপসংহার:

সুতরাং, সুইচগুলোকে এইভাবে সেট করার উপায়ের সংখ্যা হল 10।