\( y = \frac{x^3}{3} + x^2 - 8x + 4 \) বক্ররেখার \( x = \frac{5}{2} \) এ অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল কত?

প্রশ্নের সমাধান:

প্রথমে, আমাদের দৃষ্টিতে দেওয়া ফাংশনঃ

\[ y = \frac{x^3}{3} + x^2 - 8x + 4 \]

ধাপ ১: \( x = \frac{5}{2} \) এ অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় করতে, প্রথমে ডেরিভেটিভ (সাদৃশ্যের হার) নির্ণয় করব।

ডেরিভেটিভ:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + x^2 - 8x + 4\right) \]

\[ = \frac{1}{3} \times 3x^2 + 2x - 8 \]

\[ = x^2 + 2x - 8 \]

ধাপ ২: \( x = \frac{5}{2} \) বসিয়ে ডেরিভেটিভের মান নির্ণয় করি:

\[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=\frac{5}{2}} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 2 \times \frac{5}{2} - 8 \]

\[ = \frac{25}{4} + 5 - 8 \]

এখানে, ৫ কে ভগ্নাংশে রূপান্তর করি:

\[ 5 = \frac{20}{4} \]

অতএব:

\[ \frac{25}{4} + \frac{20}{4} - 8 \]

\[ = \frac{45}{4} - 8 \]

8 কে ভগ্নাংশে রূপান্তর করি:

\[ 8 = \frac{32}{4} \]

অতএব:

\[ \frac{45}{4} - \frac{32}{4} = \frac{13}{4} \]

ধাপ ৩: স্পর্শকের ঢাল নির্ণয়:

অতএব, ঢাল \( m = \frac{13}{4} \)।