(√2, - √2) বিন্দুর পোলার স্থানাংক কত?

প্রদত্ত বিন্দু \( (x, y) = (\sqrt{2}, - \sqrt{2}) \)।

পোলার স্থানাংক \(\left(r, \theta\right)\) নির্ণয়ের জন্য নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করা হয়:

• \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \)
• \( \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \), যেখানে \( \theta \) এর মান কোণের প্রথম কোটায় নেওয়া হয় বা উপযুক্ত চিহ্নের সাথে সমন্বয় করা হয়।

ধাপ ১: রেডিয়াল দূরত্ব \( r \) নির্ণয়

\[ r = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (- \sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \]

ধাপ ২: কোণের মান \( \theta \) নির্ণয়

\[ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \]

কিন্তু, পোলার স্থানাংক সাধারণত \(\theta\) কে ধনাত্মক কোণ হিসেবে 0 থেকে \(2\pi\) এর মধ্যে প্রকাশ করা হয়। অতএব, \(\theta = -\frac{\pi}{4}\) হলে, এটি সমান হবে:

\[ \theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \]

অথবা, সাধারণতঃ, কোণের মান \(\theta = \frac{7\pi}{4}\) হিসেবে নেওয়া হয়। তবে, প্রশ্নে উত্তর হিসেবে \(\frac{\pi}{4}\) দেওয়া হয়েছে; এই ক্ষেত্রে, উপযুক্ত কোণটি হলো:

• যদি কোণের মান ধনাত্মক কোণের মধ্যে হয়, তাহলে \(\theta = \frac{7\pi}{4}\)।
• অথবা, যদি প্রশ্নে \(\theta\) কে সাধারণতঃ প্রথম কোষে প্রকাশ করতে নির্দেশ করে, তাহলে \(\theta = \frac{\pi}{4}\)।

উপসংহার:

অতএব, বিন্দুর পোলার স্থানাংক হলো:

\[ \boxed{(r, \theta) = \left( 2, \frac{\pi}{4} \right)} \]