Explanation: 
Another Explanation (5):
🤔 প্রশ্ন: \( \vec{A} \) ও \( \vec{C} \) দুটি ভেক্টর হলে \( \vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{C}) \) এর মান কত?
💡 উত্তর: 0
📝 ব্যাখ্যা:
এখানে, \( \vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{C}) \) একটি স্কেলার ত্রৈধ গুণফল (scalar triple product)। স্কেলার ত্রৈধ গুণফল \( \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) \) এর মান একটি সামান্তরিক ঘনবস্তুর আয়তন নির্দেশ করে, যার তিনটি ধার \( \vec{A} \), \( \vec{B} \) এবং \( \vec{C} \) দ্বারা গঠিত।
যখন \( \vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{C}) \) হয়, তখন \( \vec{A} \times \vec{C} \) একটি ভেক্টর যা \( \vec{A} \) এবং \( \vec{C} \) উভয়ের সাথেই লম্ব।
সুতরাং, \( \vec{A} \) ভেক্টরটি \( (\vec{A} \times \vec{C}) \) ভেক্টরের সাথে লম্ব হওয়ার কারণে, তাদের ডট গুণফল শূন্য হবে।
কারণ, দুটি লম্ব ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য।
গাণিতিকভাবে:
\( \vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{C}) = |\vec{A}| |\vec{A} \times \vec{C}| \cos{\theta} \)
যেখানে, \( \theta \) হলো \( \vec{A} \) এবং \( (\vec{A} \times \vec{C}) \) এর মধ্যবর্তী কোণ। যেহেতু তারা লম্ব, তাই \( \theta = 90^\circ \)।
সুতরাং,
\( \vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{C}) = |\vec{A}| |\vec{A} \times \vec{C}| \cos{90^\circ} = |\vec{A}| |\vec{A} \times \vec{C}| \cdot 0 = 0 \)
অতএব, \( \vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{C}) = 0 \) ✅
