Points A & B lie on a straight line l relative to a fixed origin O. Point A position vector i-3j+2k, point B has position vector -2i+2j-k and poin C has position vector 2i+p j+4k with respect to 0, where p is a constant. Given that AC is perpendicular to l. Find the value of p.

সমাধান:

আমাদের দেওয়া আছে:
\( \overrightarrow{OA} = \mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \)
\( \overrightarrow{OB} = -2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k} \)
\( \overrightarrow{OC} = 2\mathbf{i} + p\mathbf{j} + 4\mathbf{k} \)
এবং \( \overrightarrow{AC} \) রেখা \( l \) এর উপর লম্ব।

প্রথমে, \( \overrightarrow{AB} \) নির্ণয় করি, যা \( l \) রেখার সমান্তরাল:

\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (-2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k}) - (\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k}) = -3\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 3\mathbf{k} \)

এরপর, \( \overrightarrow{AC} \) নির্ণয় করি:

\( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (2\mathbf{i} + p\mathbf{j} + 4\mathbf{k}) - (\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k}) = \mathbf{i} + (p+3)\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \)

যেহেতু \( \overrightarrow{AC} \) রেখা \( l \) এর উপর লম্ব, তাই \( \overrightarrow{AC} \) এবং \( \overrightarrow{AB} \) এর ডট গুণফল শূন্য হবে:

\( \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \)

\( (\mathbf{i} + (p+3)\mathbf{j} + 2\mathbf{k}) \cdot (-3\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 3\mathbf{k}) = 0 \)

\( -3 + 5(p+3) - 6 = 0 \)

\( -3 + 5p + 15 - 6 = 0 \)

\( 5p + 6 = 0 \)

\( 5p = -6 \)

\( p = -\frac{6}{5} \)

সুতরাং, \( p \) এর মান \( -\frac{6}{5} \)। 🤔

পরিশিষ্ট : 🤔🤔🤔পূর্বের উত্তরে দেওয়া p এর মান -6 সঠিক নয়। সঠিক উত্তর হল \( -\frac{6}{5} \) ।