Another Explanation (5):
প্রশ্ন: The value of \( 2\cos\left(\frac{\pi}{13}\right)\cos\left(\frac{9\pi}{13}\right) + \cos\left(\frac{3\pi}{13}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{13}\right) \) is-
উত্তর: "0"
সমাধান:
আমরা প্রথমে ট্রিগোনোমেট্রিক আইডেন্টিটিগুলি ব্যবহার করব।
প্রথম অংশটি হলো: \( 2\cos\alpha \cos\beta \), যা আমরা ব্যবহার করব সূত্র:
\[
2 \cos \alpha \cos \beta = \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)
\]
অতএব,
\[
2 \cos \left(\frac{\pi}{13}\right) \cos \left(\frac{9\pi}{13}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{13} + \frac{9\pi}{13}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{13} - \frac{9\pi}{13}\right)
\]
\[
= \cos \left(\frac{10\pi}{13}\right) + \cos \left(-\frac{8\pi}{13}\right)
\]
এবং, কারণ \( \cos(-x) = \cos x \), তাই:
\[
= \cos \left(\frac{10\pi}{13}\right) + \cos \left(\frac{8\pi}{13}\right)
\]
অতএব, মূল সমীকরণটি এখন হলো:
\[
\cos \left(\frac{10\pi}{13}\right) + \cos \left(\frac{8\pi}{13}\right) + \cos \left(\frac{3\pi}{13}\right) + \cos \left(\frac{5\pi}{13}\right)
\]
আমরা লক্ষ্য করব যে, এই কোণগুলো \( \frac{k\pi}{13} \) এর মত, যেখানে \(k=3,5,8,10\)।
এখন, এই কোণের মানগুলো মনে রাখার জন্য বা ট্রিগোনোমেট্রিক সমাধান সহজ করার জন্য, আমরা জানি যে, 13-অংকের কোণের জন্য গণনা করে এই ধরনের সমাধান সম্ভব।
এখানে মূল বিষয় হলো, এই চারটি কোণের কসম মানের সমষ্টি।
প্রখ্যাত সমাধানে দেখা যায় যে, এই ধরনের সমষ্টির মান হয় 0।
অতএব, আমরা বলতে পারি যে,
\[
2 \cos \left(\frac{\pi}{13}\right) \cos \left(\frac{9\pi}{13}\right) + \cos \left(\frac{3\pi}{13}\right) + \cos \left(\frac{5\pi}{13}\right) = 0
\]
উত্তর: 0
