y2=4x পরাবৃত্ত এবং y= x সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

প্রশ্ন: y² = 4x পরাবৃত্ত এবং y = x সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান:

1. প্রথমে, পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   \( y^2 = 4x \) (অর্থাৎ, এটি একটি উর্বর পরাবৃত্ত)
2. সাধারণত, পরাবৃত্তের জন্য, x এর মান:
   \( x = \frac{y^2}{4} \)
3. সুতরাং, সরলরেখা \( y = x \) এর সাথে পরাবৃত্তের ছেদ বিন্দুগুলি নির্ণয় করতে, আমরা সমাধান করব:

\( y = x \)

\( y^2 = 4x \)

=> \( y^2 = 4y \)

=> \( y^2 - 4y = 0 \)

=> \( y(y - 4) = 0 \)

=> \( y = 0 \) অথবা \( y = 4 \)

4. অর্থাৎ, নির্দিষ্ট ক্ষেত্রের ছেদ বিন্দুগুলি হলো: (0, 0) এবং (4, 4)
5. এখন, ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, আমরা y এর উপর ইন্টিগ্রেট করব, কারণ y মান 0 থেকে 4 পর্যন্ত।
6. প্রতিটি y এর জন্য, x এর মান হবে:
   \( x = \frac{y^2}{4} \)
7. অতএব, ক্ষেত্রফল \(A\) হবে:

\( A = \int_{y=0}^{4} \left( \text{দুটি বক্ররেখার x মানের পার্থক্য} \right) dy \)

\( A = \int_{0}^{4} \left( y - \frac{y^2}{4} \right) dy \)

8. এখন, ইন্টিগ্রেশন করি:

\( A = \int_{0}^{4} y\, dy - \int_{0}^{4} \frac{y^2}{4}\, dy \)

= \( \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4 - \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^4 \)

= \( \left( \frac{4^2}{2} \right) - \frac{1}{4} \left( \frac{4^3}{3} \right) \)

= \( \frac{16}{2} - \frac{1}{4} \times \frac{64}{3} \)

= \( 8 - \frac{64}{12} \)

= \( 8 - \frac{16}{3} \)

= \( \frac{24}{3} - \frac{16}{3} \)

= \( \frac{8}{3} \)

অতএব, ক্ষেত্রফলটি হলো: \(\boxed{\frac{8}{3}}\)