int(xdx)/(sqrt(1-x)) এর মান কোনটি?

প্রশ্ন: \(\int x \, dx / \sqrt{1 - x}\) এর মান কি?

উত্তর: \(\frac{2}{3}(1 - x)^{3/2} - 2(1 - x)^{1/2} + C\)

সমাধান:

1. প্রথমে, সমাকলনের জন্য উপযুক্ত রূপে রূপান্তর করি।
2. আমরা জানি যে, \(\int \frac{x}{\sqrt{1 - x}} \, dx\)।
3. একটি সাবস্টিটিউশন গ্রহণ করি: \(t = 1 - x\), তাহলে \(\frac{dt}{dx} = -1\) বা \(dx = -dt\), এবং \(\ x = 1 - t\).
4. এখন, ইন্টিগ্রালটি রূপান্তর করি:

\[
\int \frac{1 - t}{\sqrt{t}} \, (-dt) = - \int \frac{1 - t}{\sqrt{t}} \, dt
\]

5. এখানে, ইন্টিগ্রালটি বিভক্ত করি:

\[
- \left( \int \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt - \int \frac{t}{\sqrt{t}} \, dt \right) = - \left( \int t^{-1/2} \, dt - \int t^{1/2} \, dt \right)
\]

6. প্রতিটি ইন্টিগ্রাল সমাধান করি:

\[
\int t^{-1/2} \, dt = 2 t^{1/2} + C
\]

\[
\int t^{1/2} \, dt = \frac{2}{3} t^{3/2} + C
\]

7. অতএব, সমাধানটি হবে:

\[
- \left( 2 t^{1/2} - \frac{2}{3} t^{3/2} \right) + C = - 2 t^{1/2} + \frac{2}{3} t^{3/2} + C
\]

8. প্রতিস্থাপন করি \(\ t = 1 - x \):

\[
- 2 (1 - x)^{1/2} + \frac{2}{3} (1 - x)^{3/2} + C
\]

অতএব, মূল সমাধান:

\(\int \frac{x}{\sqrt{1 - x}} \, dx = \frac{2}{3}(1 - x)^{3/2} - 2(1 - x)^{1/2} + C\)