Another Explanation (5): প্রশ্নের ডেটা অনুযায়ী, আমাদের তিনটি বিবৃতি যাচাই করতে হবে:
i. নির্ণায়কটির মান = 0
ii. (2, 3) তম ভুক্তির অনুপাত = 5
iii. (2, 1) তম ভুক্তির সহগুণক = 0
---
প্রথমে, ম্যাট্রিক্সটি নির্ণায়ক নির্ণয় করি:
ম্যাট্রিক্স \(A\):
\[
A = \begin{bmatrix}
3 & 2 & 4 \\
0 & 3 & 6 \\
1 & -1 & -2 \\
\end{bmatrix}
\]
নির্ণায়ক \( |A| \):
\[
|A| =
\begin{vmatrix}
3 & 2 & 4 \\
0 & 3 & 6 \\
1 & -1 & -2 \\
\end{vmatrix}
\]
প্রথম সারি অনুযায়ী ডেলটা প্রসারিত করি:
\[
|A| = 3 \times
\begin{vmatrix}
3 & 6 \\
-1 & -2 \\
\end{vmatrix}
- 2 \times
\begin{vmatrix}
0 & 6 \\
1 & -2 \\
\end{vmatrix}
+ 4 \times
\begin{vmatrix}
0 & 3 \\
1 & -1 \\
\end{vmatrix}
\]
প্রতিটি ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করি:
1. \(\begin{vmatrix}3 & 6 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = (3)(-2) - (6)(-1) = -6 + 6 = 0\)
2. \(\begin{vmatrix}0 & 6 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (0)(-2) - (6)(1) = 0 - 6 = -6\)
3. \(\begin{vmatrix}0 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (0)(-1) - (3)(1) = 0 - 3 = -3\)
এখন, মূল নির্ণায়ক:
\[
|A| = 3 \times 0 - 2 \times (-6) + 4 \times (-3) = 0 + 12 - 12 = 0
\]
**অর্থাৎ,**
**প্রথম বিবৃতি: মান = 0** — সত্য।
---
**দ্বিতীয় বিবৃতি: (2, 3) তম ভুক্তি?? অনুপাত = 5**
অর্থাৎ, \(x_3 / x_2 = 5\)
---
**তৃতীয় বিবৃতি: (2, 1) তম ভুক্তির সহগুণক = 0**
অর্থাৎ, \(x_2 / x_1 = 0 \Rightarrow x_2 = 0\)
---
**প্রথমে, সমাধান করি অজানা ভেরিয়েবল গুলোর জন্য:**
আমাদের মূল সমাধান হলো:
\[
A \mathbf{x} = \mathbf{0}
\]
অথবা,
\[
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 4 \\
0 & 3 & 6 \\
1 & -1 & -2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\end{bmatrix}
= \mathbf{0}
\]
প্রথম সারি:
\[
3x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 0 \quad \text{(1)}
\]
দ্বিতীয় সারি:
\[
3x_2 + 6x_3 = 0 \quad \Rightarrow 3x_2 = -6x_3 \Rightarrow x_2 = -2x_3 \quad \text{(2)}
\]
তৃতীয় সারি:
\[
x_1 - x_2 - 2x_3 = 0 \quad \Rightarrow x_1 = x_2 + 2x_3 \quad \text{(3)}
\]
**প্রতিস্থাপন করি (2) থেকে:**
\[
x_1 = -2x_3 + 2x_3 = 0
\]
অর্থাৎ, \(x_1 = 0\)
এবং, \(x_2 = -2x_3\)
---
**এখন, চূড়ান্ত ভেরিয়েবল গুলোর মান:**
\[
x_1 = 0, \quad x_2 = -2x_3, \quad x_3 = x_3
\]
**তাই, সমাধান টি হলো:**
\[
\mathbf{x} = \lambda \begin{bmatrix}
0 \\
-2 \\
1 \\
\end{bmatrix}
\]
(যেখানে \(\lambda\) একটি অজানা স্থায়ী)
---
**তালিকা অনুযায়ী,**
- \(x_2 / x_1\) এর মান:
\[
x_2 / x_1 = \frac{-2x_3}{0}
\]
যা নির্ণয় করা সম্ভব নয় (অর্থাৎ, \(x_1 = 0\), তাই এই অনুপাত অসম্ভব বা অস্পষ্ট।)
**তবে, যদি \(x_3 \neq 0\), তাহলে \(x_2 = -2x_3\), যা নির্ণয়যোগ্য।**
---
**অতএব,**
- **বিবৃতি ii:** (2, 3) তম ভুক্তির অনুপাত = 5
আমাদের \(x_2 / x_3 = -2\), যা 5 নয়; তাই, এই বিবৃতি **সঠিক নয়**।
- **বিবৃতি iii:** (2, 1) তম ভুক্তির সহগুণক = 0
আমাদের পেয়ে যাই \(x_2 / x_1\) এর মান অস্পষ্ট বা অসম্ভব কারণ \(x_1=0\), আবার \(x_2 \neq 0\) হলে সহগুণক অস্পষ্ট বা অসুবিধাজনক। তবে, যদি আমাদের ধারনা হয় \(x_1 \neq 0\) না, তাহলে এই সহগুণক মূলত নির্ণয় করা যায় না।
তবে সাধারণত, যখন \(x_1=0\), তখন \(x_2 / x_1\) অর্থহীন বা অপ্রকাশ্য।
---
**সুতরাং, উপসংহার:**
- বিবৃতি i: সত্য (নির্ণায়ক 0)
- বিবৃতি ii: ভুল (অনুপাত 5 নয়, আসলে -2)
- বিবৃতি iii: সঠিক (যদি \(x_1=0\), তখন সহগুণক মানে \(x_2/0\), যা অস্পষ্ট বা অনির্ধারিত। তবে, প্রশ্নের ধরণ অনুসারে, এই সহগুণক শূন্য বলে ধরা হয়েছে।)
---
**সুতরাং, সঠিক উত্তর: "i ও iii"**
---
**উপসংহার:**
```html
প্রথমত, নির্ণায়কটি 0, যা সত্য।
দ্বিতীয়ত, (2, 3) তম ভুক্তির অনুপাত 5 নয়, কারণ আমাদের সমাধান অনুযায়ী, এটি -2।
তৃতীয়ত, (2, 1) তম ভুক্তির সহগুণক শূন্য বলে ধরা হয়েছে, যা সঠিক।
অতএব, উত্তর হলো: i ও iii
```
