Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া তথ্য:
- ভর \(m = 5\,kg\)
- ব্যাসার্ধ \(r = 0.2\,m\)
- ভেরকেন্দ্রণামী বৃত্তের অক্ষ XY এর জড়তার ভ্রাম্য \(I_{xy}\)
- পৃষ্ঠের সাথে লম্ব অক্ষের চারিদিকে ঘোরে
- অক্ষ XY এবং পাতটির ব্যাস AB এর সাপেক্ষে যথাক্রমে \(I_{xy}\) ও \(I_{AB}\)
প্রথমে, বৃত্তাকার পাতের জড়তার ভ্রাম্য বোঝা দরকার। যেহেতু পাত্রটি একটি পাত (disk) এবং এর ভর \(m\), ব্যাস \(d = 2r = 0.4\,m\)।
### ধাপ 1: পাতটির জড়তার ভ্রাম্য (Moment of Inertia) নির্ণয়
পাতটির জন্য সাধারণত:
- অক্ষের উপর কেন্দ্রস্থলীয় জড়তার ভ্রাম্য:
\[
I_{center} = \frac{1}{2} m r^2
\]
### ধাপ 2: অক্ষের উপর পাতটি ঘুরছে
প্রশ্নে উল্লেখ হয়েছে যে পাতটি পৃষ্ঠের সাথে লম্ব অক্ষের চারিদিকে ঘুরছে। অর্থাৎ, অক্ষটি পৃষ্ঠের সাথে লম্ব।
প্রথমে, পাতের কেন্দ্রের চারিদিকের জড়তার ভ্রাম্য নির্ণয় করতে হবে।
উল্লেখ্য, পাতটি ভারকেন্দ্রণামী এবং তার অক্ষের চারিদিকে ঘুরছে।
### ধাপ 3: পাতের অক্ষের চারিদিকের জড়তার ভ্রাম্য
অক্ষের চারিদিকে ঘুরতে গেলে, আমরা পার্শ্ববর্তী অক্ষে জলজ অনুভূতির জন্য জড়তার ভ্রাম্য ব্যবহার করি:
\[
I_{AB} = \frac{1}{12} m (d^2 + h^2)
\]
যেহেতু পাত্রটি একটি পাত, এবং তার ব্যাস \(d = 0.4\,m\), উচ্চতা বা আরেকটি ধারণা না থাকায় সাধারণতঃ ধরা হয় যে, পাতের জন্য:
\[
I_{AB} = \frac{1}{12} m d^2
\]
### ধাপ 4: পাতের জড়তার ভ্রাম্য নির্ণয়
এখন, পাতের জন্য \(I_{AB}\):
\[
I_{AB} = \frac{1}{12} \times 5 \times (0.4)^2 = \frac{1}{12} \times 5 \times 0.16
\]
\[
I_{AB} = \frac{5 \times 0.16}{12} = \frac{0.8}{12} \approx 0.0667\,kg\,m^2
\]
### ধাপ 5: অক্ষের উপরে পাতের জড়তার ভ্রাম্য
প্রশ্নের মূল বিষয় হল \(l_{xy}\), অর্থাৎ XY অক্ষের উপর পাতের জড়তার ভ্রাম্য।
পাত্রটি ঘুরছে, এবং অক্ষটি পৃষ্ঠের সাথে লম্ব।
তাহলে, অক্ষের উপর পাতের জড়তার ভ্রাম্য এর জন্য:
\[
I_{xy} = I_{center} + m d^2
\]
বিশ্লেষণে, পাতের কেন্দ্রের জড়তার ভ্রাম্য হলো:
\[
I_{center} = \frac{1}{2} m r^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (0.2)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 0.04 = 0.1\,kg\,m^2
\]
### চূড়ান্ত উত্তর:
অতএব, \(l_{xy}\) হল সেই জড়তার ভ্রাম্য, যা হলো:
\[
l_{xy} = I_{center} = 0.1\,kg\,m^2
\]
**উত্তর: \(\boxed{0.1\,kg\,m^2}\)**
