Z = x + iy,  x ও  y দুটি বাস্তব সংখ্যা - 

1. ।Z। = barz
2.  Z barz একটি বৃওের সমীকরণ
3. Z + barz একটি বাস্তব সংখ্যা

প্রশ্নের সমাধান

1. \( Z = \overline{z} \) সমীকরণটি পরীক্ষা করি।

অর্থাৎ, \( x + iy = x - iy \) (কারণ, \(\overline{z} = x - iy\))

দুটি সমান হলে:

\[ x + iy = x - iy \Rightarrow iy = - iy \Rightarrow 2iy = 0 \Rightarrow y = 0 \]

অর্থাৎ, এই সমীকরণের জন্য, \( y = 0 \) হয়।

অতএব, \( Z = x + i \cdot 0 = x \), অর্থাৎ, \( Z \) বাস্তব সংখ্যা।

উপসংহার (i):

সমীকরণ \( Z = \overline{z} \) এর জন্য, \( Z \) একটি বাস্তব সংখ্যা।

1. \( Z \cdot \overline{z} \) সমীকরণটি পরীক্ষা করি।

প্রথমে, \( Z = x + iy \) ও \( \overline{z} = x - iy \)

অতএব,

\[ Z \cdot \overline{z} = (x + iy)(x - iy) = x^2 - (iy)^2 = x^2 - i^2 y^2 \]

কারণ, \( i^2 = -1 \), তাই:

\[ Z \cdot \overline{z} = x^2 - (-1) y^2 = x^2 + y^2 \]

এটি একটি বাস্তব সংখ্যা, কারণ \( x^2 + y^2 \) সবসময়ই বাস্তব।

উপসংহার (ii):

সমীকরণ \( Z \cdot \overline{z} \) একটি বাস্তব সংখ্যা।

1. \( Z + \overline{z} \) সমীকরণটি পরীক্ষা করি।

প্রতিটি,

\[ Z + \overline{z} = (x + iy) + (x - iy) = 2x \]

অতএব, এটি অবশ্যই বাস্তব সংখ্যা, কারণ \( 2x \) বাস্তব।

উপসংহার (iii):

সমীকরণ \( Z + \overline{z} \) একটি বাস্তব সংখ্যা।

চূড়ান্ত উত্তর:

উপরের বিশ্লেষণের ভিত্তিতে, সমস্ত তিনটি শর্তই সত্য।

সুতরাং, উত্তর: i, ii ও iii