\( y = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right) \) হলে \( \frac{dy}{dx} \) এর মান কোনটি?

প্রদত্ত সমীকরণটি হল:

\[ y = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right) \]

আমরা জানি যে, যদি:

\[ y = \tan^{-1}(u) \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} \]

এখানে, \( u = \frac{2x}{1 - x^2} \)।

প্রথমে, \( \frac{du}{dx} \) নির্ণয় করি:

\[ u = \frac{2x}{1 - x^2} \]

এটি একটি রাশির আকারে, তাই কোটিয়েন্ট নিয়ম প্রয়োগ করব।

\[ \frac{du}{dx} = \frac{(2)(1 - x^2) - (2x)(-2x)}{(1 - x^2)^2} \]

সরলীকরণ করলে:

\[ \frac{du}{dx} = \frac{2(1 - x^2) + 4x^2}{(1 - x^2)^2} \]

\[ \frac{du}{dx} = \frac{2 - 2x^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2} \]

\[ \frac{du}{dx} = \frac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2} \]

এখন, \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয় করি:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} \]

প্রথমে, \( 1 + u^2 \) হিসাব করি:

\[ 1 + u^2 = 1 + \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right)^2 \]

\[ = 1 + \frac{4x^2}{(1 - x^2)^2} \]

\[ = \frac{(1 - x^2)^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2} \]

সরলীকরণ numerator: \((1 - x^2)^2 + 4x^2\):

\[ (1 - x^2)^2 + 4x^2 = (1 - 2x^2 + x^4) + 4x^2 = 1 - 2x^2 + x^4 + 4x^2 = 1 + 2x^2 + x^4 \]

অর্থাৎ:

\[ 1 + u^2 = \frac{1 + 2x^2 + x^4}{(1 - x^2)^2} \]

অতঃপর:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{1 + 2x^2 + x^4}{(1 - x^2)^2}} \times \frac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2} \]

এখানে, প্রথম অংশের উল্টো করে গুণ করলে:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{(1 - x^2)^2}{1 + 2x^2 + x^4} \times \frac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2} \]

দুটি \((1 - x^2)^2\) উপাদান পরস্পর কেটে গেলে:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{2 + 2x^2}{1 + 2x^2 + x^4} \]

নির্বাচনীয়ভাবে, numerator ও denominator কে সাধারণ গুণফল দ্বারা গুণ করলে:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{2(1 + x^2)}{(1 + x^2)^2} \]

অতএব:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + x^2} \]

অতএব, উত্তর হল:

\[ \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + x^2}} \]