Another Explanation (5): প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান
প্রশ্ন অনুযায়ী, দুটি সমান বল \(F\) এক বিন্দুতে কৌণিকভাবে 120° কোণে আনত হয়। আমাদের লক্ষ্য হলো এই পরিস্থিতির বিভিন্ন দিক বিশ্লেষণ করা।
প্রথমে, বলের মান নির্ণয় ও সম্পর্ক:
ধরা যাক, প্রতিটি বলের মান হলো \(F\)।
i) লব্ধির মান \( \sqrt{7} \) একক
অর্থাৎ, বলের মান \(F = \sqrt{7}\) একক। এই অবস্থায়, দুইটি সমান বল এক বিন্দুতে 120° কোণে আনত হলে, লব্ধি বা সমষ্টি বলের মান নির্ণয় করি:
\[
\vec{F_1} = F \hat{a} \\
\vec{F_2} = F \hat{b}
\]
এখানে \(\hat{a}\) ও \(\hat{b}\) হলো ইউনিট ভেক্টর, যা 120° কোণে থাকে।
লব্ধি বল:
\[
\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}
\]
magnitude:
\[
|\vec{R}| = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 F^2 \cos 120^\circ}
\]
কারণ, দুই বলের মধ্যে কোণ \(\theta = 120^\circ\):
\[
|\vec{R}| = \sqrt{2F^2 + 2F^2 \cos 120^\circ}
\]
\[ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \]
অর্থাৎ:
\[
|\vec{R}| = \sqrt{2F^2 + 2F^2 \times \left(-\frac{1}{2}\right)} = \sqrt{2F^2 - F^2} = \sqrt{F^2} = F
\]
এখানে, যদি \(F = \sqrt{7}\), তবে:
\[
|\vec{R}| = \sqrt{7}
\]
অতএব, **প্রথমটি সত্য**—লব্ধির মান \(\sqrt{7}\) একক।
---
ii) লব্ধি \( \sqrt{7} \) একক বলের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করে
এখন, বলের মান \(F = \sqrt{7}\) একক, ও লব্ধির মানও \(\sqrt{7}\) একক। প্রশ্নে বলা হয়েছে, লব্ধি বলের সাথে 60° কোণে অন্য একটি বলের বল \(F_2\) উৎপন্ন হয়।
সাধারণত, লব্ধি বলের মান:
\[
|\vec{R}| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}
\]
এখানে, \(\theta = 60^\circ\), \(F_1 = \sqrt{7}\), \(F_2 = F\) (অভিপ্রেত সমান বল, কারণ প্রশ্নের ধারা অনুযায়ী বলের মান একই):
\[
|\vec{R}| = \sqrt{7}
\]
অর্থাৎ:
\[
\sqrt{7} = \sqrt{7 + 7 + 2 \times \sqrt{7} \times F \times \cos 60^\circ}
\]
কিন্তু এখানে, বিষয়টি বুঝতে হবে যে, লব্ধি বলের সাথে 60° কোণে আরেকটি বলের বল উৎপন্ন হয়, যার মান নির্ণয় করতে হবে।
যদি বলের মান \(F\) হয় এবং লব্ধির মান \( \sqrt{7} \), তবে:
\[
\text{লব্ধি বল} = |\vec{R}| = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 F^2 \cos 120^\circ}
\]
এটি পূর্বে দেখানো হয়েছে, এর ফলাফল হলো \(F\), অর্থাৎ, \(F = \sqrt{7}\)।
তাই, অন্য বলের মান \(F_2\) যদি \( \sqrt{7} \) হয়, তাহলে লব্ধি বল এবং বলের কোণ সম্পর্ক:
\[
\cos \theta = \frac{|\vec{R}|^2 - F_1^2 - F_2^2}{2 F_1 F_2}
\]
যেখানে, \( |\vec{R}| = \sqrt{7} \), \(F_1 = F_2 = \sqrt{7}\):
\[
\cos \theta = \frac{7 - 7 - 7}{2 \times \sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{-7}{2 \times 7} = -\frac{1}{2}
\]
\[
\Rightarrow \theta = 120^\circ
\]
তাই, এই পরিস্থিতিতে, বলের সাথে উৎপন্ন কোণ 60° নয়, বরং 120°। তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে 60°, তাই এই অবস্থায় এটা সম্ভব নয়।
অতএব, **দ্বিতীয়টি ভুল**।
---
iii) লব্ধি বলদ্বয়ের যোগফল অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর
এখানে, দুই বলের যোগফল ও লব্ধি বলের তুলনা করতে হবে।
- দুই বলের যোগফল:
\[
|\vec{F_1} + \vec{F_2}| = F \sqrt{2 + 2 \cos 120^\circ} = \sqrt{7} \quad (আগে দেখানো)
\]
- লব্ধি বলের মান:
\[
|\vec{R}| = \sqrt{7}
\]
অর্থাৎ, দুই বলের যোগফল ও লব্ধি বলের মান সমান। তাই, **তুলনা করলে তারা সমান**, অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতর নয়।
অতএব, **তৃতীয়টি ভুল**।
---
সারসংক্ষেপ:
- **i) সত্য**
- **ii) ভুল**
- **iii) ভুল**
তাই, সঠিক উত্তর হবে: **"i only"**। কিন্তু প্রশ্নের উত্তরে বলা হয়েছে "i, ii ও iii"। এ ক্ষেত্রে, প্রশ্নের ব্যাখ্যায় কিছু বিভ্রান্তি থাকতে পারে। তবে, বিশ্লেষণ অনুযায়ী, শুধুমাত্র (i) সঠিক।
---
উত্তর:
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: "i"
