inte^(10x)[10lnx+1/x]dx= কত?

সমাধান:

আমরা ইন্টিগ্রালটি নিম্নরূপ লিখতে পারি:

∫ e^{10x} \left( 10 \ln x + \frac{1}{x} \right) dx

ধাপ ১: ইন্টিগ্রালটি বিভক্ত করুন

∫ e^{10x} \left( 10 \ln x \right) dx + ∫ e^{10x} \frac{1}{x} dx

ধাপ ২: প্রথম ইন্টিগ্রালটি সমাধান

I_১ = ∫ 10 e^{10x} \ln x \, dx

উপস্থাপন করি:
u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx
dv = e^{10x} dx \Rightarrow v = \frac{1}{10} e^{10x}

I_১ = 10 \left( uv - ∫ v du \right)

I_১ = 10 \left( \ln x \cdot \frac{1}{10} e^{10x} - ∫ \frac{1}{10} e^{10x} \cdot \frac{1}{x} dx \right)

I_১ = e^{10x} \ln x - ∫ e^{10x} \frac{1}{x} dx

ধাপ ৩: মূল ইন্টিগ্রাল পুনরাবৃত্তি

∫ e^{10x} \left( 10 \ln x + \frac{1}{x} \right) dx

I = I_১ + ∫ e^{10x} \frac{1}{x} dx

I = \left( e^{10x} \ln x - ∫ e^{10x} \frac{1}{x} dx \right) + ∫ e^{10x} \frac{1}{x} dx

I = e^{10x} \ln x

উপসংহার:

∫ e^{10x} \left( 10 \ln x + \frac{1}{x} \right) dx = e^{10x} \ln |x| + C

উত্তর:

e^{10x} \ln |x| + C