Another Explanation (5):
সমীকরণের বিশ্লেষণ ও উপবৃত্তের স্বরূপ নির্ণয়
প্রদত্ত সমীকরণঃ
\[ 2x^2 + 3y^2 - 4x - 12y + 8 = 0 \]
প্রথমে, সমীকরণটিকে সাধারণ রূপে নিয়ে আসি এবং বর্গমূল সম্পন্ন করি।
ধাপ 1: সমীকরণের প্রত্যেকটি অংশকে গুণন বা ভাগন করে সহজ করা
সমীকরণের প্রতিটি সদস্যকে 1 দ্বারা ভাগ করি যাতে কোঅফিসিয়েন্টগুলো সহজ হয়:
\[ \frac{2x^2}{2} + \frac{3y^2}{2} - \frac{4x}{2} - \frac{12y}{2} + \frac{8}{2} = 0 \]
অর্থাৎ,
\[ x^2 + \frac{3}{2} y^2 - 2x - 6y + 4 = 0 \]
অথবা, সমীকরণটি লিখি:
\[ x^2 - 2x + \frac{3}{2} y^2 - 6y + 4 = 0 \]
ধাপ 2: সমীকরণটিকে x ও y-সম্পর্কে আলাদা করে পূর্ণবর্গের রূপে রূপান্তর করি
প্রথমে, x এর জন্য:
\[ x^2 - 2x \]
এখানে,
\[ x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1 \]
এবং, y এর জন্য:
\[ \frac{3}{2} y^2 - 6y \]
এখানে, y এর জন্য পূর্ণবর্গের রূপ আনার জন্য প্রথমে y এর জন্য সাধারণ রূপে লিখি:
\[ \frac{3}{2} y^2 - 6 y \]
প্রথমে, y এর অংশকে সম্পাদন করুন:
\[ \frac{3}{2} y^2 - 6 y = \frac{3}{2} ( y^2 - 4 y ) \]
এখন, y এর অংশের জন্য পূর্ণবর্গের রূপ:
\[ y^2 - 4 y = ( y^2 - 4 y + 4 ) - 4 = ( y - 2 )^2 - 4 \]
সুতরাং,
\[ \frac{3}{2} ( y^2 - 4 y ) = \frac{3}{2} [ ( y - 2 )^2 - 4 ] = \frac{3}{2} ( y - 2 )^2 - 6 \]
ধাপ 3: সমীকরণের নতুন রূপে সংযোজন
অতএব, সমীকরণটি এখন রূপান্তরিত হয়:
\[ (x - 1)^2 - 1 + \frac{3}{2} ( y - 2 )^2 - 6 + 4 = 0 \]
সংকলন করি:
\[ (x - 1)^2 + \frac{3}{2} ( y - 2 )^2 - 3 = 0 \]
অথবা,
\[ (x - 1)^2 + \frac{3}{2} ( y - 2 )^2 = 3 \]
ধাপ 4: সমীকরণটিকে মানক আকারে রূপান্তর
দ্বৈতকরণ করি যাতে বাক্যাংশটি সাধারণ আকারে আসে:
\[ (x - 1)^2 + \frac{3}{2} ( y - 2 )^2 = 3 \]
উভয় পাশে 2 দ্বারা ভাগ করি:
\[ \frac{(x - 1)^2}{3/2} + ( y - 2 )^2 = 2 \]
অথবা,
\[ \frac{(x - 1)^2}{\frac{3}{2}} + \frac{( y - 2 )^2}{1} = 2 \]
অথবা,
\[ \frac{(x - 1)^2}{\frac{3}{2}} + \frac{( y - 2 )^2}{1} = 2 \]
এখানে,
\[ \frac{(x - 1)^2}{\frac{3}{2}} + \frac{( y - 2 )^2}{1} = 2 \]
উদাহরণস্বরূপ, এই সমীকরণটি পরিমার্জন করলে:
\[ \frac{(x - 1)^2}{1.5} + ( y - 2 )^2 = 2 \]
এটি একটি দ্বৈতকোণের সাধারণ আকার, যেখানে দুইটি অক্ষের অক্ষাংশের পার্থক্য রয়েছে।
তবে, মূল গুণনরূপে, এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ, কারণ:
- সমীকরণে \( (x - h)^2 \) ও \( (y - k)^2 \) থাকে।
- কোঅফিসিয়েন্টগুলো ভিন্ন হলেও, সমীকরণের সাধারণ আকারটি উপবৃত্তের।
উপসংহার
অতএব, সমীকরণটি উপবৃত্তের রূপ প্রকাশ করে।
**উত্তর:** উপবৃত্ত
