৪৫০ টাকা বার্ষিক ৬% সুদে কত বছরে সুদে-আসলে ৫৫৮ টাকা হবে? 

Another Explanation (5):

সমস্যা:

প্রতিবৎসর ৬% সুদে ৪৫০ টাকার মূলধন কত বছর পরে ৫৫৮ টাকার সুদে-আসলে পরিণত হবে?

সমাধান:

প্রথমে মূলধন, সুদ, এবং সময়ের সম্পর্ক বোঝা যাক।

সুদের সূত্র:

\(A = P(1 + r)^t\)

যেখানে:

• \(A\) = মোট পরিমাণ (মূলধন + সুদ)
• \(P\) = মূলধন
• \(r\) = বার্ষিক সুদের হার (দশমিক)
• \(t\) = বছর সংখ্যা

প্রশ্নে, সুদে-আসলে মোট পরিমাণ \(A = 450 + 558 = 1008\) টাকা। মূলধন \(P = 450\) টাকা। সুদের হার \(r = 6\% = 0.06\)।

অতএব, সমীকরণ হবে:

\(1008 = 450(1 + 0.06)^t\)

প্রথমে উভয় পাশে 450 দ্বারা ভাগ করি:

\( \frac{1008}{450} = (1.06)^t \)

\(\frac{1008}{450} = 2.24\)

অর্থাৎ:

\( (1.06)^t = 2.24 \)

এখন, লোগারিদম ব্যবহার করে \(t\) নির্ণয় করি:

\( t = \frac{\ln(2.24)}{\ln(1.06)} \)

গণনা করলে:

\(\ln(2.24) \approx 0.806\)

\(\ln(1.06) \approx 0.0583\)

অতএব:

\(t \approx \frac{0.806}{0.0583} \approx 13.82\) বছর

<-- এখানে মনে হয় ভুল হয়েছে। কারণ প্রশ্নের উত্তর "৪ বছরে"। আসুন আবার দেখি। -->

দ্রুত সমাধান:

সাধারণত সুদে-আসলে মোট পরিমাণ হবে:

\(A = P(1 + r)^t\)

মোট সুদ \(S = A - P\)

তাই:

\(S = P[(1 + r)^t - 1]\)

প্রশ্নে, \(S = 558\), \(P = 450\), \(r = 0.06\)

অতএব:

\(558 = 450[(1.06)^t - 1]\)

উভয় পাশে ভাগ করি:

\(\frac{558}{450} = (1.06)^t - 1\)

\(\frac{558}{450} = 1.24\)

অতএব:

\(1.24 = (1.06)^t - 1\)

তাই:

\( (1.06)^t = 2.24 \)

এখানে আবার একই সমাধান আসছে। কিন্তু এটি 13.82 বছর দেখাচ্ছে, যা প্রশ্নের উত্তরে "৪ বছর" এর বিপরীত। সম্ভবত প্রশ্নের অর্থ হল, কত বছর পরে সুদে-আসলে মোট পরিমাণ হবে ৫৫৮ টাকা, অর্থাৎ মূলধন সহ।

তাহলে, মূলধন সহ মোট পরিমাণ হবে:

\(A = 450 + 558 = 1008\) টাকা।

তাই:

\(1008 = 450(1.06)^t\)

অতএব:

\(\frac{1008}{450} = (1.06)^t\)

\(2.24 = (1.06)^t\)

এখন, \(\log\) ব্যবহার করে:

\(t = \frac{\ln(2.24)}{\ln(1.06)} \approx \frac{0.806}{0.0583} \approx 13.82\)

**তাই, সমাধান অনুযায়ী, এটি প্রায় ১৪ বছর পরে হবে। তবে প্রশ্নের উত্তরে "৪ বছরে" বলে থাকলে, সম্ভবত প্রশ্নের অর্থ হলো সুদের পরিমাণ ৫৫৮ টাকা হলে কত বছর লাগবে।** **নির্ণয় করতে, যদি সুদের পরিমাণ \(S = 558\) হয়, তবে মূলধন \(P=450\), তাহলে আসুন দেখি, কত বছর পরে এই সুদ হবে।** সুতরাং, \[ 558 = 450 \times r \times t \] এটি সরাসরি সুদের সাধারণ সূত্র নয়। তবে, যদি আমরা সরল সুদ ধরে নিই: সাধারণ সুদের সূত্র: \[ S = P \times r \times t \] তাহলে, \[ 558 = 450 \times 0.06 \times t \] অতএব, \[ t = \frac{558}{450 \times 0.06} = \frac{558}{27} = 20.67 \text{ বছর} \] এটি ২০.৬৭ বছর। তবে, প্রশ্নে "৪ বছরে" বলছে, সম্ভবত প্রশ্নের উদ্দেশ্য হলো, সুদের পরিমাণ ৫৫৮ টাকা হলে কত বছর লাগবে। তাহলে, উত্তরটি হবে: \[ t \approx 20.67 \text{ বছর} \] তবে, প্রশ্নের উত্তরে "৪ বছরে" উল্লেখ করা হয়েছে, যা সম্ভবত ভুল বা অন্য অর্থে বোঝানো হয়েছে। **সুতরাং, মূল সূত্র অনুযায়ী, যদি সুদে-আসলে মোট পরিমাণ ৫৫৮ টাকা হয়, তবে প্রায় ২০.৬৭ বছর লাগবে।** --- **উপসংহার:** **প্রশ্নের উত্তর "?? বছর" হতে পারে এই ধরা হয় যে, সুদের পরিমাণ ৫৫৮ টাকা হলে মোট সময় প্রায় ২০.৬৭ বছর।**