lim_(x->0) (e^sinx -1)/sinx = ?

Another Explanation (3):

lim_x→0 (e^{sin x} - 1) / sin x = ?

1. 1 (Correct)
2. -1 (Incorrect)
3. ln(a) (Incorrect)
4. 2 (Incorrect)

ব্যাখ্যা:

আমরা এই সীমাটি সমাধান করার জন্য প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি।

ধরি, y = sin x।

যখন x → 0, তখন sin x → 0। সুতরাং, y → 0।

এখন, আমরা সীমাটিকে y এর মাধ্যমে লিখতে পারি:

lim_y→0 (e^y - 1) / y

এটি একটি পরিচিত সীমা যার মান 1। আমরা এটি প্রমাণ করতে পারি ল'হপিটাল এর নিয়ম ব্যবহার করে অথবা e^y এর ম্যাকলরিন ধারা ব্যবহার করে।

ল'হপিটাল এর নিয়ম ব্যবহার করে:

যেহেতু y → 0 হলে লব (e^y - 1) → 0 এবং হর y → 0, এটি 0/0 আকারের একটি অনির্ণেয় রূপ। সুতরাং, আমরা ল'হপিটাল এর নিয়ম প্রয়োগ করতে পারি। নিয়ম অনুসারে, আমরা লব এবং হর উভয়ের অন্তরক নির্ণয় করব:

d/dy (e^y - 1) = e^y

d/dy (y) = 1

সুতরাং, সীমাটি হবে:

lim_y→0 e^y / 1 = e⁰ = 1

e^y এর ম্যাকলরিন ধারা ব্যবহার করে:

e^y এর ম্যাকলরিন ধারা হলো:

e^y = 1 + y + y²/2! + y³/3! + ...

সুতরাং, e^y - 1 = y + y²/2! + y³/3! + ...

এখন, আমরা সীমাটি লিখতে পারি:

lim_y→0 (y + y²/2! + y³/3! + ...) / y

lim_y→0 (1 + y/2! + y²/3! + ...)

যখন y → 0, তখন y এর সমস্ত ধনাত্মক ঘাত 0 তে যায়। সুতরাং, সীমাটি হবে:

1 + 0 + 0 + ... = 1

সুতরাং, উভয় পদ্ধতিতেই আমরা পাই যে সীমাটির মান 1।

সিদ্ধান্ত

lim_x→0 (e^{sin x} - 1) / sin x = 1

সঠিক উত্তর: A. 1

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x}\)

উত্তর: 1

সমাধান:

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, এটি একটি \( \frac{0}{0} \) ধরণের অস্পষ্টতা, তাই লোপিত মান নির্ণয় করতে পারি লিমিটের সরলীকরণ বা লোপিতের মূল সূত্র ব্যবহার করে।

প্রথমে, \(\sin x\) এর জন্য টেইলর সিরিজ ব্যবহার করা যাক:

\[ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots \]

এবং, \(e^{\sin x}\) এর জন্য টেইলর সিরিজ:

\[ e^{\sin x} = 1 + \sin x + \frac{(\sin x)^2}{2!} + \frac{(\sin x)^3}{3!} + \cdots \]

তাহলে, \(\displaystyle e^{\sin x} - 1\) হবে:

\[ e^{\sin x} - 1 = \sin x + \frac{(\sin x)^2}{2} + \frac{(\sin x)^3}{6} + \cdots \]

এখন, মূল লিমিটে বিভাজক হিসেবে \(\sin x\) থাকায়, এর সঙ্গে উপরের সমীকরণটি ভাগ করলে:

\[ \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} = \frac{\sin x + \frac{(\sin x)^2}{2} + \frac{(\sin x)^3}{6} + \cdots}{\sin x} \]

উপরের বিভাজনে প্রত্যেকটি টার্ম ভাগ করে দিলে:

\[ = 1 + \frac{\sin x}{2} + \frac{(\sin x)^2}{6} + \cdots \]

যখন \(x \to 0\), তখন \(\sin x \to 0\), ফলে:

\[ \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{\sin x}{2} + \frac{(\sin x)^2}{6} + \cdots \right) = 1 + 0 + 0 + \cdots = 1 \]

অতএব,

\(\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} = 1}\)