Another Explanation (5):
প্রশ্নঃ
প্রশ্নে দুইটি বৃত্তের সমীকরণ দেওয়া হলো:
\[
x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6 = 0 \quad \text{(1)}
\]
\[
x^2 + y^2 + 8x + y + 10 = 0 \quad \text{(2)}
\]
আমাদের কাজ হলো এই দুই বৃত্তের সাধারণ জ্যা (common chord) এর সমীকরণ নির্ণয় করা।
ধাপ ১ঃ
প্রতিটি বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি।
বৃত্ত (1):
\[
x^2 + 6x + y^2 + 2y = -6
\]
সম্পূর্ণ বর্গ রূপে রূপান্তর করি:
\[
x^2 + 6x = (x^2 + 6x + 9) - 9 = (x + 3)^2 - 9
\]
\[
y^2 + 2y = (y^2 + 2y + 1) - 1 = (y + 1)^2 - 1
\]
অতএব,
\[
(x + 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = -6
\]
\[
(x + 3)^2 + (y + 1)^2 = -6 + 9 + 1 = 4
\]
সুতরাং, বৃত্ত (1) এর কেন্দ্র হলো \((-3, -1)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r_1 = 2\)।
বৃত্ত (2):
\[
x^2 + 8x + y^2 + y = -10
\]
সম্পূর্ণ বর্গ রূপে রূপান্তর করি:
\[
x^2 + 8x = (x^2 + 8x + 16) - 16 = (x + 4)^2 - 16
\]
\[
y^2 + y = (y^2 + y + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} = (y + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}
\]
অতএব,
\[
(x + 4)^2 - 16 + (y + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} = -10
\]
\[
(x + 4)^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = -10 + 16 + \frac{1}{4} = 6 + \frac{1}{4} = \frac{25}{4}
\]
সুতরাং, বৃত্ত (2) এর কেন্দ্র হলো \((-4, -\frac{1}{2})\) এবং ব্যাসার্ধ \(r_2 = \frac{5}{2}\)।
ধাপ ২ঃ
গণনা করি, দুই বৃত্তের সাধারণ জ্যা বা সাধারণ সরলরেখার সমীকরণ। সাধারণভাবে, দুটি বৃত্তের সমীকরণ:
\[
x^2 + y^2 + 2g_1 x + 2f_1 y + c_1 = 0
\]
\[
x^2 + y^2 + 2g_2 x + 2f_2 y + c_2 = 0
\]
এর সাধারণ জ্যা হবে:
\[
\text{(বৃত্ত ১)} - \text{(বৃত্ত ২)} = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
(x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6) - (x^2 + y^2 + 8x + y + 10) = 0
\]
সরল করে:
\[
6x + 2y + 6 - 8x - y - 10 = 0
\]
\[
(6x - 8x) + (2y - y) + (6 - 10) = 0
\]
\[
-2x + y - 4 = 0
\]
অথবা,
\[
y = 2x + 4
\]
এটি স??ধারণ জ্যা বা সাধারণ সরলরেখার সমীকরণ।
উত্তর:
সাধারণ জ্যা বা সাধারণ সরলরেখার সমীকরণ হলো:
\[
2x - y + 4 = 0
\]
