দুইটি বৃত্তের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ \( x - 2x + 7 = 0 \)। একটি বৃত্তের সমীকরণ \( x^2 + y^2 - 4x + 6y - 36 = 0 \) হলে অপর বৃত্তটির সমীকরণ কোনটি?

বৃত্ত সংক্রান্ত সমস্যা 🧐

দেওয়া আছে, সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ: \( x - 2y + 7 = 0 \)।

একটি বৃত্তের সমীকরণ: \( x^2 + y^2 - 4x + 6y - 36 = 0 \)।

অপর বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে। 🤔

সাধারণ জ্যা এর ধারণা: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করলে তাদের ছেদবিন্দু দিয়ে যে সরলরেখা যায়, সেটিই সাধারণ জ্যা। 🤓

আমরা জানি, \( S = 0 \) এবং \( L = 0 \) একটি বৃত্ত এবং একটি সরলরেখার সমীকরণ হলে, অপর বৃত্তের সমীকরণ হবে \( S + \lambda L = 0 \) যেখানে \( \lambda \) একটি ধ্রুবক। 👍

অতএব, অপর বৃত্তের সমীকরণ:

\( (x^2 + y^2 - 4x + 6y - 36) + \lambda (x - 2y + 7) = 0 \)

\( x^2 + y^2 - 4x + 6y - 36 + \lambda x - 2\lambda y + 7\lambda = 0 \)

\( x^2 + y^2 + (\lambda - 4)x + (6 - 2\lambda)y + (7\lambda - 36) = 0 \) ...(i)

এখন, প্রদত্ত উত্তর \( x^2 + y^2 - 5x + 8y - 43 = 0 \) এর সাথে (i) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,

\( \lambda - 4 = -5 \Rightarrow \lambda = -1 \)

\( 6 - 2\lambda = 8 \Rightarrow 2\lambda = -2 \Rightarrow \lambda = -1 \)

\( 7\lambda - 36 = -43 \Rightarrow 7\lambda = -7 \Rightarrow \lambda = -1 \)

সুতরাং, \( \lambda = -1 \)। 🥳

(i) নং সমীকরণে \( \lambda = -1 \) বসিয়ে পাই,

\( x^2 + y^2 + (-1 - 4)x + (6 - 2(-1))y + (7(-1) - 36) = 0 \)

\( x^2 + y^2 - 5x + 8y - 43 = 0 \)

অতএব, অপর বৃত্তটির সমীকরণ: \( x^2 + y^2 - 5x + 8y - 43 = 0 \)। 🎉