(7,2) বিন্দু হতে 2x2+2y2+5x+y-15=0 বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

প্রশ্নের সমাধান:

1. প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:

\( 2x^2 + 2y^2 + 5x + y - 15 = 0 \)

2. সমীকরণকে সাধারণ রূপে রূপান্তর করি:

\( 2x^2 + 2y^2 + 5x + y = 15 \)

দুটি প্যারামিটারকে সমান ভাগ করতে, সমীকরণের সব অংশকে 2 দ্বারা ভাগ করি:

\( x^2 + y^2 + \frac{5}{2}x + \frac{1}{2}y = \frac{15}{2} \)

3. পূর্ণবৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করতে, সম্পূর্ণ করতে হবে বাকী অংশ:
\[ x^2 + \frac{5}{2}x + y^2 + \frac{1}{2}y = \frac{15}{2} \] প্রতিটি অংশের জন্য সম্পূর্ণ করতে: \[ x^2 + \frac{5}{2}x = \left( x^2 + \frac{5}{2}x + \left(\frac{5}{4}\right)^2 \right) - \left(\frac{5}{4}\right)^2 \] \[ = \left( x + \frac{5}{4} \right)^2 - \frac{25}{16} \] অন্যদিকে, \[ y^2 + \frac{1}{2} y = \left( y^2 + \frac{1}{2} y + \left(\frac{1}{4}\right)^2 \right) - \left(\frac{1}{4}\right)^2 \] \[ = \left( y + \frac{1}{4} \right)^2 - \frac{1}{16} \] সুতরাং, \[ \left( x + \frac{5}{4} \right)^2 - \frac{25}{16} + \left( y + \frac{1}{4} \right)^2 - \frac{1}{16} = \frac{15}{2} \] এখন সব যোগফল এক পাশে রাখি: \[ \left( x + \frac{5}{4} \right)^2 + \left( y + \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{15}{2} + \frac{25}{16} + \frac{1}{16} \] একই সূচকভুক্ত ভগ্নাংশের যোগফল: \[ \frac{15}{2} = \frac{120}{16} \] \[ \frac{25}{16} + \frac{1}{16} = \frac{26}{16} = \frac{13}{8} \] অতএব, \[ \left( x + \frac{5}{4} \right)^2 + \left( y + \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{120}{16} + \frac{13}{8} \] নতুন সূচকভুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করি: \[ \frac{13}{8} = \frac{26}{16} \] সুতরাং, \[ \left( x + \frac{5}{4} \right)^2 + \left( y + \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{120}{16} + \frac{26}{16} = \frac{146}{16} = \frac{73}{8} \] অর্থাৎ, বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ:

কেন্দ্র \( C \left( -\frac{5}{4}, -\frac{1}{4} \right) \)
ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{\frac{73}{8}} \)

2. বিন্দু \( P(7,2) \) থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব নির্ণয় করি:

\( d = \sqrt{(7 - (-\frac{5}{4}))^2 + (2 - (-\frac{1}{4}))^2} \)

= \( \sqrt{\left(7 + \frac{5}{4}\right)^2 + \left(2 + \frac{1}{4}\right)^2} \)

= \( \sqrt{\left(\frac{28}{4} + \frac{5}{4}\right)^2 + \left(\frac{8}{4} + \frac{1}{4}\right)^2} \)

= \( \sqrt{\left(\frac{33}{4}\right)^2 + \left(\frac{9}{4}\right)^2} \)

= \( \sqrt{\frac{1089}{16} + \frac{81}{16}} \)

= \( \sqrt{\frac{1170}{16}} \)

= \( \frac{\sqrt{1170}}{4} \)

3. স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়: বৃত্তের বাইরে বা ভিতরে থাকাকালীন, স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \( l \) নির্ণয় করতে হয়: \[ l = \sqrt{d^2 - r^2} \] প্রথমে \( d^2 \) ও \( r^2 \) নির্ণয় করি: \[ d^2 = \left( \frac{\sqrt{1170}}{4} \right)^2 = \frac{1170}{16} \] \[ r^2 = \frac{73}{8} \] অতএব, \[ l = \sqrt{\frac{1170}{16} - \frac{73}{8}} \] সাধারণ ভিত্তিতে রূপান্তর করি: \[ \frac{73}{8} = \frac{146}{16} \] সুতরাং, \[ l = \sqrt{\frac{1170}{16} - \frac{146}{16}} = \sqrt{\frac{1170 - 146}{16}} = \sqrt{\frac{1024}{16}} = \sqrt{64} = 8 \] **উত্তর:** স্পর্শকের দৈর্ঘ্য **8**।