Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্নে দেওয়া দুটি সমীকরণ সমবিন্দুগামী হলে, তদ্নুযায়ী তাদের অভিন্ন দিক নির্দেশক (direction ratios) থাকবে। তৃতীয় সমীকরণ \(ax + by + 1 = 0\) এর সমবিন্দুগামী হওয়ার জন্য, এটি প্রথম দুটি সরাসরি সমীকরণের দিক নির্দেশকদের সাথে অনুরূপ হবে।
প্রথম দুটি সমীকরণ:
\[
1) \quad 3x + 5y = 2
\]
\[
2) \quad 2x + 3y = 0
\]
তাদের দিক নির্দেশক (direction ratios):
\[
\vec{d_1} = (3, 5)
\]
\[
\vec{d_2} = (2, 3)
\]
তাদের দিক নির্দেশক ভেক্টরের ক্রস প্রোডাক্ট শূন্য হলে, তারা সমবিন্দুগামী বা অভিন্ন দিক নির্দেশক। চলুন, তাদের ক্রস প্রোডাক্ট নির্ণয় করি:
\[
\vec{d_1} \times \vec{d_2} = 3 \times 3 - 5 \times 2 = 9 - 10 = -1 \neq 0
\]
অর্থাৎ, এই দুটি সরলরেখা সমবিন্দুগামী নয়। তবে, সমবিন্দুগামী বলতে যে অর্থ বোঝানো হচ্ছে, তা সম্ভবত তাদের অভিন্ন দিক নির্দেশকের অনুপাতের সমান্য পরিবর্তন।
তাদের দিক নির্দেশক অনুপাত:
\[
\frac{3}{2} \quad \text{এবং} \quad \frac{5}{3}
\]
এগুলো সমান নয়, তাই সরাসরি সমবিন্দুগামী নয়। তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে, সমবিন্দুগামী (collinear) অর্থাৎ, একই সরলরেখার অংশ বা একত্রে দাঁড়ানো।
তাই, প্রথম দুটি সরলরেখার সমীকরণ যদি সমান দিক নির্দেশক হয় তবে তারা সমবিন্দুগামী।
তাদের সমীকরণের সাধারণ রূপ:
\[
\frac{3}{2} \neq \frac{5}{3}
\]
অর্থাৎ, তারা সমবিন্দুগামী নয়।
তবে, প্রশ্ন অনুযায়ী, প্রতিটি সমীকরণের সাধারণ রূপ:
\[
k_1(3x + 5y) = k_2(2x + 3y) = \text{একই রেখার জন্য}
\]
তাদের সমবিন্দুগামী হলে, সমীকরণের দিক নির্দেশকের অনুপাত সমান হবে।
এখন, \(ax + by + 1 = 0\) সমীকরণের দিক নির্দেশক \((a, b)\) এর সাথে প্রথম দুটি সরলরেখার দিক নির্দেশকের অনুপাত সমান হতে হবে।
অর্থাৎ, তারা সমবিন্দুগামী হলে:
\[
\frac{a}{b} = \frac{3}{2} = \frac{5}{3}
\]
অর্থাৎ, এই দুটি অনুপাত সমান নয়, তাই অন্যভাবে দেখবো।
অর্থাৎ, \(ax + by + 1 = 0\) এর সরলরেখা প্রথম দুইটির সমবিন্দুগামী হলে, এই সমীকরণের জন্য, তাদের দিক নির্দেশক অনুপাত:
\[
\text{তাদের দিক নির্দেশক}: (a, b)
\]
তাদের সাথে প্রথম দুটি সমীকরণের দিক নির্দেশক অনুপাতের সম্পর্ক হলো:
\[
\frac{a}{b} = \frac{3}{2}
\]
অথবা:
\[
2a = 3b
\]
এর থেকে:
\[
a = \frac{3b}{2}
\]
তবে, \(ax + by + 1=0\) সমীকরণের স্বাভাবিক রেখা মানে:
\[
\text{দিক নির্দেশক} = (a, b)
\]
এখন, সমীকরণের ধ্রুবক অংশের জন্য, সমবিন্দুগামী হতে হলে, তাদের স্বাভাবিক রেখার ক্রস প্রোডাক্ট শূন্য হবে। অর্থাৎ, প্রথম দুটি সমীকরণের স্বাভাবিক ভেক্টর \( (3, 5) \) এবং \( (2, 3) \) এর ক্রস প্রোডাক্ট:
\[
(3, 5) \times (2, 3) = 3 \times 3 - 5 \times 2 = 9 - 10 = -1
\]
অর্থাৎ, তারা অভিন্ন নয়।
তবে, অন্যথায়, যদি সমীকরণের স্বাভাবিক ভেক্টর \( (a, b) \) প্রথম দুটি সমীকরণের সাথে অভিন্ন হয়, তাহলে:
\[
(3, 5) \parallel (a, b)
\]
অর্থাৎ, \(a\) ও \(b\) এর মধ্যে অনুপাত:
\[
\frac{a}{3} = \frac{b}{5}
\]
অথবা:
\[
5a = 3b
\]
এখন, তৃতীয় সমীকরণের ধ্রুবক অংশ হলো \(1\), যা \(ax + by + 1=0\) এর জন্য।
যেহেতু সমবিন্দুগামী মানে, এই লাইনটি প্রথম দুটি লাইনের সমান দিক নির্দেশক অনুসারে হয়, তাহলে তাদের সমীকরণের স্বাভাবিক ভেক্টর হবে:
\[
(3, 5) \quad \text{অথবা} \quad (a, b)
\]
তাই, \(a, b\) এর মধ্যে সম্পর্ক হলো:
\[
5a = 3b
\]
এবং, সমীকরণের ধ্রুবক অংশের জন্য:
\[
ax + by + 1=0
\]
যেখানে, \(ax + by = -1\)।
প্রথম দুটি রেখার সমীকরণের সাধারণ রূপ:
\[
3x + 5y = 2
\]
\[
2x + 3y = 0
\]
এখানে, যদি এই দুটি সমীকরণের স্বাভাবিক ভেক্টর \( (3, 5) \) ও \( (2, 3) \) এর সাথে \( (a, b) \) সমান হয়, তাহলে:
\[
a = 3k
\]
\[
b = 5k
\]
এবং, \(ax + by + 1=0\) এর জন্য:
\[
3k x + 5k y + 1=0
\]
অর্থাৎ,
\[
k(3x + 5y) = -1
\]
এখন, \(3x + 5y\) এর জন্য মান নির্ণয় করি। প্রথম সমীকরণ থেকে:
\[
3x + 5y = 2
\]
অতএব,
\[
k \times 2 = -1
\]
\[
k = -\frac{1}{2}
\]
অতএব,
\[
a = 3k = 3 \times -\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}
\]
\[
b = 5k = 5 \times -\frac{1}{2} = -\frac{5}{2}
\]
এখন, \(a\) ও \(b\) এর সম্পর্ক:
\[
a = -\frac{3}{2}
\]
\[
b = -\frac{5}{2}
\]
এখানে, \(a\) ও \(b\) এর মধ্যে সম্পর্ক তৈরি করি:
\[
6a = 6 \times -\frac{3}{2} = -9
\]
\[
4b = 4 \times -\frac{5}{2} = -10
\]
অতএব,
\[
6a - 4b = -9 - (-10) = 1
\]
**উত্তর:**
\(6a - 4b = 1\)
