x² + y² - 4x - 6y = 0 বৃত্তটি—

1. মূলবিন্দুগামী
2. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে
3. y-অক্ষকে (0, -6) বিন্দুতে ছেদ করে

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া বৃত্তের সমীকরণ হলো:

\( x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0 \)

আমরা প্রথমে এই সমীকরণকে সম্পূর্ণ বর্গ রূপে রূপান্তর করব।

ধাপ ১: বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়

প্রথমে, \(x\) ও \(y\) এর জন্য আলাদা করে সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করি:

\( x^2 - 4x + y^2 - 6y = 0 \)

এখন, \(x\) ও \(y\) এর জন্য পৃথকভাবে সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করি:

\( x^2 - 4x = x^2 - 4x + 4 - 4 = (x - 2)^2 - 4 \)

\( y^2 - 6y = y^2 - 6y + 9 - 9 = (y - 3)^2 - 9 \)

এখন, মূল সমীকরণে এগুলি বসিয়ে দেওয়া হলে:

\( (x - 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 = 0 \)

অথবা,

\( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13 \)

অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র \( (2, 3) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{13} \)।

ধাপ ২: বিবেচনা

**(i) মূলবিন্দুগামী** বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে মূলবিন্দু (origin, \( (0, 0) \)) এর দূরত্ব:

\( d = \sqrt{(2 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \)

যেহেতু ব্যাসার্ধও \( \sqrt{13} \), তাই মূলবিন্দু বৃত্ত??র উপকেন্দুতে অবস্থিত।  
অর্থাৎ, মূলবিন্দু বৃত্তের মূলবিন্দুতে অবস্থিত।  
একই অর্থে, বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে গামী।  
সুতরাং, এটি সত্য।  

**(ii) x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে** x-অক্ষের সমীকরণ হলো: \( y=0 \) প্রতিপাদ্য অনুযায়ী, বৃত্তটি x-অক্ষ থেকে 4 একক দূরত্বে। অর্থাৎ, x-অক্ষের কোনো বিন্দু \( (x, 0) \) যেখানে বৃত্তের সবসময় থেকে দূরত্ব 4, অর্থাৎ:

দূরত্ব = \( \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 9} \)

এবং এই দূরত্বটি 4:

\( \sqrt{(x - 2)^2 + 9} = 4 \)

\( (x - 2)^2 + 9 = 16 \)

\( (x - 2)^2 = 7 \)

\( x - 2 = \pm \sqrt{7} \)

অর্থাৎ, বিন্দুগুলি:

\( (2 \pm \sqrt{7}, 0) \)

এবং এই বিন্দুগুলির দূরত্ব মূলবিন্দু দিয়ে:

দূরত্ব = \( \sqrt{(2 \pm \sqrt{7} - 0)^2 + (0 - 0)^2} = |2 \pm \sqrt{7}| \)

যেহেতু \( 2 + \sqrt{7} > 4 \), তাহলে:

\( \sqrt{7} \approx 2.645 \)

তাই,

\( |2 + 2.645| \approx 4.645 \neq 4 \)

এবং,

\( |2 - 2.645| \approx 0.645 \neq 4 \)

অর্থাৎ, মূলবিন্দু থেকে এই বিন্দুগুলির দূরত্ব 4 নয়।  
তাহলে, বৃত্তটি x-অক্ষ থেকে 4 একক দূরত্বে খণ্ডন করে না।  
সুতরাং, এই বিবৃতি ভুল।  

**তাই, দ্বিতীয় বিবৃতি ভুল।**

সারাংশ:

- মূলবিন্দু (0, 0) থেকে বৃত্তের কেন্দ্র (2, 3) পর্যন্ত দূরত্ব \(\sqrt{13}\), যা ব্যাসার্ধের সমান।  
- অর্থাৎ, বৃত্তটি মূলবিন্দুগামী।  
- তবে, এটি x-অক্ষ থেকে 4 একক দূরত্বে খণ্ডন করে না।  

**অতএব, উত্তর: i ও ii** বলতে ভুল, কারণ ii সত্য নয়।  

অতএব, সঠিক উত্তর হবে:  
**"i only"** বা **"i"**।  

---

**চূড়ান্ত উত্তর:**  
উত্তর: i only