Explanation: \(\text{Hints: } \omega = 2\pi f = \sqrt{\frac{k}{m}}\) \(\text{Solve: } \frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = \sqrt{\frac{2m}{m}} = \sqrt{2} = 1.4\) \(\therefore f_1 = 1.4f_2 \, \text{অর্থাৎ } 1.4 \, \text{গুণ কমবে।}\) \(\text{Ans. (D)}\) \(\text{ব্যাখ্যা: } \omega^2 = \frac{k}{m} \implies \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \implies 2\pi f = \sqrt{\frac{k}{m}} \implies f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\) \(\therefore f_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}, \, f_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_2}}\) \(\implies \frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}\)

Another Explanation (5): ```html

স্প্রিং-ভর সিস্টেমের কম্পাঙ্ক: একটি বিশ্লেষণ 🧐

একটি স্প্রিং-ভর সিস্টেমের কম্পাঙ্ক ভরের উপর কিভাবে নির্ভরশীল, তা নিচে আলোচনা করা হলো:

কম্পাঙ্কের সূত্র 📝

স্প্রিং-ভর সিস্টেমের কম্পাঙ্কের সূত্রটি হলো:

f = 1 / (2π) * √(k / m)

যেখানে:

• f = কম্পাঙ্ক (Hz)
• k = স্প্রিং ধ্রুবক (N/m)
• m = ভর (kg)

ভর পরিবর্তনের প্রভাব ⚖️

সূত্র থেকে দেখা যাচ্ছে, কম্পাঙ্ক (f) ভরের (m) বর্গমূলের ব্যস্তানুপাতিক। অর্থাৎ, ভর বাড়লে কম্পাঙ্ক কমবে।

গাণিতিক ব্যাখ্যা ➗

ধরি, আদি ভর m₁ = m এবং পরিবর্তিত ভর m₂ = 2m।

আদি কম্পাঙ্ক f₁ = 1 / (2π) * √(k / m)

পরিবর্তিত কম্পাঙ্ক f₂ = 1 / (2π) * √(k / (2m))

এখন, f₂ / f₁ = √(k / (2m)) / √(k / m) = √(m / (2m)) = √(1 / 2) ≈ 0.707

সুতরাং, f₂ ≈ 0.707 * f₁

এ থেকে বোঝা যায়, ভর দ্বিগুণ করলে কম্পাঙ্ক প্রায় 0.707 গুণ হবে, অর্থাৎ পূর্বের কম্পাঙ্কের প্রায় 70.7%। সুতরাং, কম্পাঙ্ক কমবে।

কতটুকু কমবে? 🤔

কম্পাঙ্ক কতটুকু কমবে, তা বের করার জন্য:

1 - 0.707 = 0.293

অর্থাৎ, কম্পাঙ্ক প্রায় 29.3% কমবে।

১.৪ গুণ কমবে কিনা, সেটা যাচাই করার জন্য:

১/1.4 ≈ 0.714

যেহেতু 0.707 ও 0.714 খুব কাছাকাছি, তাই উত্তরটি সঠিক।

ফলাফল 📊

ভর	কম্পাঙ্ক (আপেক্ষিক)
m	1
2m	≈ 0.707

সারসংক্ষেপ ✅

• ভর বাড়লে কম্পাঙ্ক কমে।
• ভর দ্বিগুণ করলে কম্পাঙ্ক প্রায় 0.707 গুণ হয়।
• অতএব, উত্তর: "1.4 গুন কমবে" সঠিক। (প্রায়)
• এটি প্রায় 29.3% হ্রাস নির্দেশ করে।

আশা করি, ব্যাখ্যাটি বোধগম্য হয়েছে! 😃👍

```