Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: দুটি সমান্তরাল বল যথাক্রমে \(12\,N\) এবং \(4\,N\) লম্বা একটি হালকা দণ্ডের দুই প্রান্তে স্থাপন করা হয়েছে। দণ্ডের দৈর্ঘ্য \(10\,m\)। আমাদের জানতে হবে বৃহত্তর বল থেকে লব্ধি কত দূরে ক্রিয়া করে।
ধরি, বলগুলো \(A\) এবং \(B\), যেখানে:
- বল \(A\): \(12\,N\) (বড় বল)
- বল \(B\): \(4\,N\) (ছোট বল)
দণ্ডের দূরত্ব \(L = 10\,m\)।
আমাদের লক্ষ্য হল দণ্ডের যে স্থানটি বৃহত্তর বল থেকে কত দূরে অবস্থান করে, যেখানে বলগুলো দণ্ডের উপর সমানভাবে কার্যকর হয়, অর্থাৎ দুই বলের প্রতিকর্ষণের বল সমান হয়।
ধরা যাক, দণ্ডের উপর সেই বিন্দুটির দূরত্ব \(x\) (বড় বল থেকে), তাহলে ছোট বল থেকে দূরত্ব হবে \(L - x = 10 - x\)।
তাহলে, বলের প্রতিকর্ষণের সূত্র অনুযায়ী:
\[
F_A \propto \frac{12}{x^2}
\]
\[
F_B \propto \frac{4}{(10 - x)^2}
\]
সমান হলে:
\[
\frac{12}{x^2} = \frac{4}{(10 - x)^2}
\]
উভয় পাশে ক্রস মাল্টিপ্লাই করে:
\[
12 (10 - x)^2 = 4 x^2
\]
দুটি পক্ষে ভাগ করে 4:
\[
3 (10 - x)^2 = x^2
\]
বর্গফলগুলি বিস্তার করি:
\[
3 (100 - 20x + x^2) = x^2
\]
বিন্??াস করি:
\[
300 - 60x + 3x^2 = x^2
\]
সাম্য স্থাপন করি:
\[
3x^2 - x^2 - 60x + 300 = 0
\]
সরল করি:
\[
2x^2 - 60x + 300 = 0
\]
সমীকরণটি বিভাজন করি 2 দ্বারা:
\[
x^2 - 30x + 150 = 0
\]
এখন, এই ক quadratic সমীকরণের জন্য:
\[
x = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \times 1 \times 150}}{2}
\]
গণনা করি:
\[
x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 600}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{300}}{2}
\]
\[
\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10 \sqrt{3}
\]
অতএব,
\[
x = \frac{30 \pm 10 \sqrt{3}}{2} = 15 \pm 5 \sqrt{3}
\]
প্রাকৃত সংখ্যা হিসেবে মানগুলি:
\[
x_1 = 15 + 5 \sqrt{3}
\]
\[
x_2 = 15 - 5 \sqrt{3}
\]
\(\sqrt{3} \approx 1.732\):
\[
x_1 \approx 15 + 5 \times 1.732 = 15 + 8.66 = 23.66\,m \quad (\যা দণ্ডের বাইরে, তাই অপ্রাসঙ্গিক)
\]
\[
x_2 \approx 15 - 8.66 = 6.34\,m
\]
অতএব, দণ্ডের উপর সেই বিন্দুটির দূরত্ব বৃহত্তর বল থেকে:
\[
\boxed{6.34\,m}
\]
তবে প্রশ্নে উল্লেখ আছে উত্তরে "4"। সম্ভবত, প্রশ্নের কাঠামো বা বিকল্প উত্তর অনুযায়ী, এখানে মূলত কাছাকাছি মানের জন্য \(x \approx 4\,m\) বা অন্য মানের ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যেতে পারে। তবে গণনায় মূল ফলাফল হচ্ছে:
**উত্তর: \(\boxed{6.34\,m}\)**
তবে, প্রশ্নের নির্দিষ্ট উত্তর হিসেবে "4" উল্লেখ থাকলে, সম্ভবত সেটি নির্দিষ্ট পরীক্ষামূলক বা গাণিতিক ধাপ অনুসারে নির্ধারিত।
**সম্পূর্ণ সমাধান HTML ফরম্যাটে:**
```html
প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: দুটি সমান্তরাল বল যথাক্রমে 12N এবং 4N লম্বা একটি দণ্ডের দুই প্রান্তে স্থাপন করা হয়েছে। দণ্ডের দৈর্ঘ্য 10 মিটার। আমাদের জানার বিষয় হলো, বৃহত্তর বল থেকে দণ্ডের যে বিন্দুটি কার্যকর হয়, সেটি কত দূরে অবস্থিত।
ধরা যাক, দণ্ডের উপর সেই বিন্দুটির দূরত্ব হলো \(x\) মিটার, যেখানে বৃহত্তর বল থেকে দূরত্ব। তাহলে ছোট বল থেকে দূরত্ব হবে \(10 - x\)।
বলগুলোর প্রতিকর্ষণের শক্তি অনুপাত হবে:
\( \frac{12}{x^2} = \frac{4}{(10 - x)^2} \)
উভয় পাশে ক্রস মাল্টিপ্লাই করে:
\( 12(10 - x)^2 = 4 x^2 \)
3(10 - x)^2 = x^2
3(100 - 20x + x^2) = x^2
300 - 60x + 3x^2 = x^2
2x^2 - 60x + 300 = 0
এটি সরল করে:
x^2 - 30x + 150 = 0
সমাধান করি:
x = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \times 1 \times 150}}{2}
গণনা:
x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 600}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{300}}{2}
\sqrt{300} = 10 \sqrt{3}
অতএব,
x = \frac{30 \pm 10 \sqrt{3}}{2} = 15 \pm 5 \sqrt{3}
\(\sqrt{3} \approx 1.732\):
x_1 \approx 15 + 8.66 = 23.66\,m \quad (অপ্রাসঙ্গিক, কারণ দণ্ডের বাইরে)
x_2 \approx 15 - 8.66 = 6.34\,m
অতএব, বৃহত্তর বল থেকে দূরত্ব হলো প্রায় **6.34 মিটার**।
```
