যদিintdx/(a+bcosx)=1/sqrt(a^2-b^2)cos^-1((b+acosx)/(a+bcosx))হয় int_0^pidx/(a+bcosx) এর মান হবে

প্রশ্নানুসারে, \( \int \frac{dx}{a+b\cos x} = \frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}} \cos^{-1} \left( \frac{b+a\cos x}{a+b\cos x} \right) \)

তাহলে, \( \int_0^\pi \frac{dx}{a+b\cos x} \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা লিখতে পারি,

\( \int_0^\pi \frac{dx}{a+b\cos x} = \left[ \frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}} \cos^{-1} \left( \frac{b+a\cos x}{a+b\cos x} \right) \right]_0^\pi \)

\(= \frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}} \left[ \cos^{-1} \left( \frac{b+a\cos \pi}{a+b\cos \pi} \right) - \cos^{-1} \left( \frac{b+a\cos 0}{a+b\cos 0} \right) \right] \)

\(= \frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}} \left[ \cos^{-1} \left( \frac{b-a}{a-b} \right) - \cos^{-1} \left( \frac{b+a}{a+b} \right) \right] \)

\(= \frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}} \left[ \cos^{-1} (-1) - \cos^{-1} (1) \right] \)

\(= \frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}} \left[ \pi - 0 \right] \)

\(= \frac{\pi}{\sqrt{a^2-b^2}} \)

সুতরাং, \( \int_0^\pi \frac{dx}{a+b\cos x} = \frac{\pi}{\sqrt{a^2-b^2}} \) 🎉