intdx/(xsqrt(x^4-1)) এর মান কত হবে?

প্রশ্ন: \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x^4-1}}\) এর মান কত?

উত্তর: \(\frac{1}{2} \cos^{-1}(\frac{1}{x^2}) + C\)

সমাধান:

ধরি, \(I = \int \frac{dx}{x\sqrt{x^4-1}}\)

এখন, \(x^2 = t\) ধরলে, \(2xdx = dt\) হবে। সুতরাং, \(dx = \frac{dt}{2x}\)

তাহলে, \(I = \int \frac{1}{x\sqrt{t^2-1}} \cdot \frac{dt}{2x} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{x^2\sqrt{t^2-1}} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t\sqrt{t^2-1}}\)

আমরা জানি, \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = \sec^{-1}(x) + C\)

সুতরাং, \(I = \frac{1}{2} \sec^{-1}(t) + C = \frac{1}{2} \sec^{-1}(x^2) + C\)

যেহেতু, \(\sec^{-1}(x) = \cos^{-1}(\frac{1}{x})\), তাই

\(I = \frac{1}{2} \cos^{-1}(\frac{1}{x^2}) + C\)

অতএব, \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x^4-1}} = \frac{1}{2} \cos^{-1}(\frac{1}{x^2}) + C\) 🥳