x^2 + xy + y^2 = 8 হলে \(\frac{dy}{dx}\) কত?

Explanation: Hints: অন্তর্গমন করে \( \frac{dy}{dx} \) একপাশে রেখে বাকি রাশিগুলো অন্যপাশে রাখতে হবে। Solve: \( x^2 + xy + y^2 = 8 \) \(\implies 2x + x \frac{dy}{dx} + y.1 + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \) \(\implies (x + 2y) \frac{dy}{dx} = -(y + 2x) \) \(\implies \frac{dy}{dx} = \frac{-(y + 2x)}{(x + 2y)} \) Ans. (A) ব্যাখ্যা: এই ধরনের ফাংশনগুলো হচ্ছে অব্যন্তর ফাংশন। প্রথমে \(x\) এর সাথে অন্তর্গমন করে \( \frac{dy}{dx} \) একপাশে এবং বাকি রাশিগুলো অন্যপাশে নিয়ে যাওয়া হয়েছে। এখানে \(xy\) কে \(uv\) আকারে অন্তর্গমন করা হয়েছে। Shortcut: অব্যন্ত ফাংশনগুলোর সমাধান \( \frac{dy}{dx} \) করার জন্য সবগুলো রাশি সমীকরণের বামপাশে এনে নিচের Shortcut টি প্রয়োগ করতে পারো: \( \frac{dy}{dx} = \frac{-x}{y} \) এর সাথে অন্তর্গমন (y ধরে রাখা), \( \frac{-y}{x} \) এর সাথে অন্তর্গমন (x ধরে রাখা)।

Another Explanation (5): ```html

দেওয়া আছে, \(x^2 + xy + y^2 = 8\)। \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করতে হবে।

আমরা উভয় দিকে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করি:

\(\frac{d}{dx}(x^2 + xy + y^2) = \frac{d}{dx}(8)\)

\(\implies \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(y^2) = 0\)

\(\implies 2x + (x\frac{dy}{dx} + y\frac{dx}{dx}) + 2y\frac{dy}{dx} = 0\)

\(\implies 2x + x\frac{dy}{dx} + y + 2y\frac{dy}{dx} = 0\)

\(\implies (x + 2y)\frac{dy}{dx} = -(2x + y)\)

\(\implies \frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}\)

এখন, উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য, আমরা লিখতে পারি: \(\frac{dy}{dx} = -\frac{y+2x}{2y+x}\)

সুতরাং, \(\frac{dy}{dx} = -\frac{y+2x}{2y+x}\) 🎉।

```