Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(x^2 + y^2 = 20\) বৃত্তের (2, 4) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?
উত্তর: \(x + 10y = 10\)
---
### সমাধান:
দেওয়া বৃত্তের সমীকরণ:
\[
x^2 + y^2 = 20
\]
দেওয়া বিন্দু:
\[
(x_1, y_1) = (2, 4)
\]
### ধাপ 1: বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়
বৃত্তের কেন্দ্র \(C(h, k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r\):
\[
x^2 + y^2 = 20 \Rightarrow \text{center } C(0,0), \quad r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]
### ধাপ 2: স্পর্শকের সমীকরণ সাধারিত রূপ
একটি বৃত্তের উপর কোনো বিন্দুতে স্পর্শক সমীকরণ হলো:
\[
(x - h)X + (y - k)Y = r^2
\]
যেখানে \((X, Y)\) স্পর্শকের বিন্দু। তবে, এখানে স্পর্শকটি নির্দিষ্ট বিন্দু, তাই স্পর্শকের সমীকরণ পাওয়ার জন্য সাধারণভাবে ব্যবহার করা যায়:
\[
\text{স্পর্শক সমীকরণ:} \quad T = 0
\]
যেখানে \(T\) হলো:
\[
xX + yY = r^2
\]
অর্থাৎ, স্পর্শকের সমীকরণ হচ্ছে:
\[
x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2
\]
### ধাপ 3: বিন্দু (2, 4) এ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়
অতএব, স্পর্শকের সমীকরণ হবে:
\[
x \cdot 2 + y \cdot 4 = 20
\]
অথবা:
\[
2x + 4y = 20
\]
দ্বিগুণ ভাগ করলে:
\[
x + 2y = 10
\]
### ধাপ 4: সামঞ্জস্যপূর্ণ সমাধান
উল্লেখ্য, এখানে কিছু ভুল থাকতে পারে কারণ উপরের সমীকরণে সরাসরি স্পর্শক নির্ণয় হয়নি। আসলেই, স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়ের জন্য আমরা নিম্নলিখিত পদ্ধতি অনুসরণ করব:
### আরও বিস্তারিত সমাধান:
স্পর্শকের সমীকরণ সাধারণত:
\[
x x_1 + y y_1 = r^2
\]
সুতরাং:
\[
2x + 4y = 20
\]
যা:
\[
x + 2y = 10
\]
এটি স্পর্শকের সরলরেখার সমীকরণ। তবে, প্রশ্নে উত্তর দেওয়া হয়েছে: "x + 10y = 10"।
উদ্দেশ্যটি নিশ্চিত করতে, আমরা স্পর্শকের জন্য সাধারণ সূত্র ব্যবহার করব:
### সমাধান: স্পর্শকের সমীকরণ
স্পর্শক সূত্র:
\[
x x_1 + y y_1 = r^2
\]
এবং স্পর্শকের রেখাংশের জন্য নির্ণয়:
\[
x x_1 + y y_1 = 20
\]
প্রতিটি বিন্দুর জন্য স্পর্শকের সমীকরণ:
অতএব, \( (2, 4) \) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ হবে:
\[
2x + 4y = 20
\]
অথবা:
\[
x + 2y = 10
\]
### উপসংহার:
উল্লেখ্য, প্রশ্নে উল্লেখিত উত্তর "x + 10y = 10"। এই সমীকরণের জন্য চেক করব:
**চেক:**
স্পর্শক সমীকরণ:
\[
x + 10y = 10
\]
যদি এই সমীকরণটি \( (2, 4) \) বিন্দুতে সত্য হয়:
\[
2 + 10 \times 4 = 2 + 40 = 42 \neq 10
\]
অর্থাৎ, এই সমীকরণ বিন্দু (2, 4) দিয়ে যায় না। তাই, সম্ভবত প্রশ্নের উত্তরটি ভুল বা অন্য কোনও প্রসঙ্গ রয়েছে।
---
### উপসংহার:
প্রশ্নের জন্য সঠিক সমাধান হলো:
\[
x + 2y = 10
\]
যা সঠিকভাবে \( (2, 4) \) বিন্দুতে যায়। তবে, প্রশ্নে উল্লেখিত উত্তর "x + 10y = 10" হয়তো কোনও নির্দিষ্ট পরিস্থিতির জন্য দেওয়া হয়েছে।
---
### চূড়ান্ত উত্তর:
**সঠিক স্পর্শকের সমীকরণ:**
\[
\boxed{
x + 2y = 10
}
\]
