Another Explanation (5): প্রশ্নের উত্তর ও সমাধান
প্রশ্নঃ একটি 3×3 ম্যাট্রিক্স জন্য নিচের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
- A² নির্ণয় করা যায়
- |A| = 0 হলে এটি একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
- \(A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}A \)
উত্তরঃ "i, ii, ও iii"
বিশ্লেষণ ও সমাধান
i. A² নির্ণয় করা যায়
একটি 3×3 ম্যাট্রিক্স \(A\) এর জন্য, আমরা জানি যে ম্যাট্রিক্সের গুণফল নির্ণয় করা সম্ভব। অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্সের জন্য:
\[
A^2 = A \times A
\]
এটি অবশ্যই সম্ভব, কারণ ম্যাট্রিক্সের গুণফল নির্ণয়করণ সম্ভব। অতএব, **প্রথমটি সঠিক**।
ii. |A| = 0 হলে এটি একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
একটি ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট (|A|) শূন্য হলে, ম্যাট্রিক্সটি ইনভার্স না। অর্থাৎ, এর ইনভার্স অস্তিত্বহীন। ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী বা singular বলে পরিচিত। তাই, যখন |A| = 0, তখন ম্যাট্রিক্সটি অবশ্যই ব্যতিক্রমী। এই বিবৃতি **সঠিক**।
iii. \(A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}A \)
ম্যাট্রিক্সের ইনভার্সের সাধারণ সূত্র হলো:
\[
A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}A
\]
যেখানে, \(\operatorname{adj}A\) হলো অ্যাডজজেন্ট (adjugate) ম্যাট্রিক্স। তবে, এই সূত্রটি শুধুমাত্র তখনই প্রযোজ্য যখন \(|A| \neq 0\), অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্সটি ইনভার্সেবল। যদি \(|A| = 0\), তবে এই সূত্র অকার্যকর। কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে, এই সূত্রটি সাধারণভাবে দেওয়া হয়েছে।
তাই, **তত্ত্বগতভাবে** এটি সঠিক সূত্র। তবে, এটির ব্যবহার তখনই সম্ভব যখন \(|A| \neq 0\)। কিন্তু প্রশ্নে কোনো নির্দিষ্ট শর্ত দেওয়া হয়নি, এ জন্য সাধারণত এটি একটি মৌলিক সূত্র হিসেবে গ্রহণ করা হয়।
**সুতরাং, এই তিনটি বিবৃতি সবই সত্য।**
উপসংহার
অতএব, **উত্তরঃ i, ii, ও iii**।
