ABC ত্রিভুজে \( \cos A + \cos C = \sin B \) হলে \( \angle A \) সমান-

প্রশ্ন:

ABC ত্রিভুজে যদি \( \cos A + \cos C = \sin B \) হয়, তবে \( \angle A \) কত?

সমাধান:

প্রথমে, ত্রিভুজের কোণসমূহের যোগফল জানি:

\[ A + B + C = 180^\circ \]

প্রদত্ত শর্ত:

\[ \cos A + \cos C = \sin B \]

ত্রিভুজের কোণের জন্য সাধারণ সমীকরণ ব্যবহার করে সমাধান করি।

ধাপ ১: কোণ \( C \) এর জন্য \( C = 180^\circ - A - B \) ধরে নেই।

তাহলে, \(\cos C = \cos (180^\circ - A - B) \)

এটি থেকে, \(\cos C = - \cos (A + B) \)

ধাপ ২: \(\cos (A + B)\) এর মান জানি:

\[ \cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \]

অতএব,

\[ \cos C = - (\cos A \cos B - \sin A \sin B) = - \cos A \cos B + \sin A \sin B \]

ধাপ ৩: মূল শর্তে বসিয়ে:

\[ \cos A + \cos C = \sin B \]

অর্থাৎ,

\[ \cos A + (- \cos A \cos B + \sin A \sin B) = \sin B \]

ধাপ ৪: সমীকরণ সরলীকরণ:

\[ \cos A - \cos A \cos B + \sin A \sin B = \sin B \]

ধাপ ৫: \(\cos A\) এর সাধারণ অংশ বের করি:

\[ \cos A (1 - \cos B) + \sin A \sin B = \sin B \]

ধাপ ৬: সমাধান আরও সহজ করতে, \(\sin A\) ও \(\cos A\) এর সম্পর্ক ব্যবহার করি।

আমরা লক্ষ্য করি, যদি \(\angle A = 90^\circ\), তবে:

\(\cos A = 0\)

এবং, \(\sin A = 1\)

ধাপ ৭: \( \angle A = 90^\circ \) হলে, মূল শর্ত যাচাই করি:

\( \cos 90^\circ = 0 \)

অতএব, শর্তে বসিয়ে:

\[ 0 + \cos C = \sin B \]

ধাপ ৮: \(\cos C\) কে প্রকাশ করি:

\( C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 90^\circ - B = 90^\circ - B \)

তাহলে, \(\cos C = \cos (90^\circ - B) = \sin B \)

ধাপ ৯: মূল শর্তে ফিরে গেলে:

\[ \sin B = \sin B \]

যা সত্য, অর্থাৎ, \( \angle A = 90^\circ \) হলে শর্ত পূরণ হয়।

উপসংহার:

অতএব, \(\angle A = 90^\circ\)।