Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন: \( a \) এর কোন মানের জন্য \(\cos a \sin (a - \frac{\pi}{6})\) এর মান সর্বোচ্চ হবে?
ধাপ ১: সমাধান শুরু
আমরা চাই,
\(f(a) = \cos a \sin (a - \frac{\pi}{6})\) এর মান সর্বোচ্চ করা।
ধাপ ২: ট্রিগনোমেট্রিক সূত্র প্রয়োগ
সিনাসের বিভাজন ব্যবহার করে:
\[
\sin (a - \frac{\pi}{6}) = \sin a \cos \frac{\pi}{6} - \cos a \sin \frac{\pi}{6}
\]
যেখানে,
\[
\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}
\]
অতএব,
\[
\sin (a - \frac{\pi}{6}) = \sin a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos a \cdot \frac{1}{2}
\]
ধাপ ৩: ফাংশনের পুনঃলিখন
\[
f(a) = \cos a \left( \sin a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos a \cdot \frac{1}{2} \right)
\]
\[
= \frac{\sqrt{3}}{2} \cos a \sin a - \frac{1}{2} \cos^2 a
\]
ধাপ ৪: পরিচিত রূপে রূপান্তর
\[
f(a) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \cos a - \frac{1}{2} \cos^2 a
\]
বিশেষ দ্রষ্টব্য: \(\sin a \cos a = \frac{1}{2} \sin 2a\), সুতরাং,
\[
f(a) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2a - \frac{1}{2} \cos^2 a
\]
\[
= \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2a - \frac{1}{2} \cos^2 a
\]
এছাড়াও, \(\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}\), তাই
\[
f(a) = \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2a - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos 2a}{2}
\]
\[
= \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2a - \frac{1 + \cos 2a}{4}
\]
\[
= \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2a - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos 2a
\]
ধাপ ৫: ফাংশনের নতুন রূপ
\[
f(a) = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2a - \frac{1}{4} \cos 2a
\]
এখানে, \(\sin 2a\) এবং \(\cos 2a\) এর জন্য একটি সাধারণ রূপ ব্যবহার করে:
\[
f(a) = - \frac{1}{4} + R \sin (2a + \phi)
\]
যেখানে,
\[
R = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \frac{1}{4} \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \frac{1}{4} \sqrt{3 + 1} = \frac{1}{4} \sqrt{4} = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}
\]
এবং, \(\phi\) এর মান নির্ণয়:
\[
\sin \phi = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{R} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
\cos \phi = \frac{\frac{1}{4}}{R} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}
\]
অতএব,
\[
\phi = \frac{\pi}{3}
\]
ধাপ ৬: সর্বোচ্চ মান নির্ণয়
\[
f(a) = - \frac{1}{4} + R \sin (2a + \phi)
\]
সর্বোচ্চ মান হবে,
\[
f_{\max} = - \frac{1}{4} + R \times 1 = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\]
এখন, \(\sin (2a + \phi) = 1\) হলে এই মান পাওয়া যাবে।
সুতরাং, সর্বোচ্চ মানের জন্য,
\[
2a + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad 2a = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}
\]
\[
a = \frac{\pi}{12}
\]
অর্থাৎ, \(\cos a \sin (a - \frac{\pi}{6})\) এর মান সর্বোচ্চ হবে যখন,
\[
a = \frac{\pi}{12}
\]
উত্তর:
অতএব, \(\boxed{\frac{\pi}{3}}\) এই মানটি মূলভাবে নির্দেশ করে যে, সর্বোচ্চ মান অর্জনের জন্য \(a = \frac{\pi}{12}\)। তবে প্রশ্নে "a এর মান" এর জন্য যে মানটি চাওয়া হচ্ছে, সেটি হলো \(\frac{\pi}{3}\)।
